Charakteristická rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Charakteristická rovnice (nebo pomocná rovnice[1]) je v matematice algebraická rovnice n-tého stupně, na které závisí řešení diferenciální rovnice n-tého řádu[2]. Charakteristickou rovnici lze použít pro řešení lineárních, homogenních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty[1], které lze obecně zapsat

kde je závislá proměnná a jsou konstanty. Tato diferenciální rovnice má charakteristickou rovnici tvaru

Z kořenů charakteristické rovnice můžeme zkonstruovat obecné řešení diferenciální rovnice[1][3][4]. Tuto metodu řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty objevil Leonhard Euler, který našel vztah mezi uvedenými rovnicemi[2]. Vlastnosti Eulerovy charakteristické rovnice později podrobněji studovali francouzští matematici Augustin Louis Cauchy a Gaspard Monge[2][4].

Derivace[editovat | editovat zdroj]

Hledáme-li řešení lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty ,

vidíme, že pokud by se řešení rovnalo , každý sčítanec v rovnici bude konstantním násobkem . To pramení z faktu, že derivace exponenciální funkce je násobkem původní funkce, čili , a jsou všechno násobky . To naznačuje, že určité hodnoty dovolují, aby součet násobků dával nulu, a řešil homogenní diferenciální rovnici[3]. Abychom zjistili hodnotu , dosadíme funkci a její derivace do diferenciální rovnice za a jeho derivace, čímž dostaneme

Protože není nikdy rovno nule, můžeme jím rovnici vydělit, čímž dostaneme charakteristickou rovnici

Když nalezneme kořeny této charakteristické rovnice, můžeme z nich sestrojit obecné řešení diferenciální rovnice[1][4]. Například jestliže se jeden kořen rovná 3, pak obecné řešení bude , kde je konstanta.

Sestrojení obecného řešení[editovat | editovat zdroj]

Příklad

Lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty

má charakteristickou rovnici

.

Její faktorizací dostaneme

z čehož vidíme, že řešeními rovnice je jeden jednoduchý kořen a dvě dvojice komplexních kořenů . Z toho plyne, že diferenciální rovnice má reálné obecné řešení

kde jsou reálné konstanty

Naleznutí kořenů charakteristické rovnice, nám umožňuje sestrojit obecné řešení diferenciální rovnice. Kořeny mohou být reálné i komplexní a jednoduché nebo vícenásobné. Jestliže charakteristická rovnice má složky s jednoduchými reálnými kořeny, násobnými kořeny a komplexními kořeny po řadě odpovídajícími obecným řešením , a , pak obecné řešení diferenciální rovnice je

Jednoduché reálné kořeny[editovat | editovat zdroj]

Princip superpozice pro lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty říká, že jestliže jsou lineárně nezávislé řešení určité diferenciální rovnice, pak jejich každá lineární kombinace je také řešením rovnice pro libovolné hodnoty [1][5]. Proto pokud má charakteristická rovnice jednoduché reálné kořeny , její obecné řešení bude mít tvar

Vícenásobné reálné kořeny[editovat | editovat zdroj]

Jestliže charakteristická rovnice má násobný kořen , pak je zřejmé, že je alespoň jedno její řešení[1]. Ale toto řešení není lineárně nezávislé s dalšími kořeny. Protože má násobnost , diferenciální rovnici můžeme faktorizovat na[1]

Skutečnost, že je jedno řešení, nám umožňuje předpokládat, že obecné řešení má tvar , kde je funkce, kterou je třeba nalézt. Substituce dává

pro . násobným použitím této skutečnosti dostáváme

což po vydělení dává

To platí právě tehdy, když je polynom stupně , neboli [4]. Protože , část obecného řešení odpovídající je

Komplexní kořeny[editovat | editovat zdroj]

Pokud má charakteristická rovnice komplexní kořeny ve tvaru a , pak obecné řešení je . Použitím Eulerova vzorce můžeme toto řešení upravit:

kde a jsou libovolné (i komplexní) konstanty[4].

Pokud použijeme konstanty , pak dostaneme partikulární řešení .

Pokud použijeme konstanty a , pak dostaneme lineárně nezávislé řešení . Díky principu superpozice pro lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, můžeme příspěvek k obecnému řešení diferenciální rovnice pro dvojici komplexně sdružených kořenů vyjádřit vzorcem .

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Characteristic equation (calculus) na anglické Wikipedii.

  1. a b c d e f g EDWARDS, C. Henry; PENNEY, David E.. Differential Equations: Computing and Modeling. Upper Saddle River, New Jersey : Pearson Education. ISBN 978-0-13-600438-7. Kapitola 3.  
  2. a b c SMITH, David Eugene. History of Modern Mathematics: Differential Equations [online]. University of South Florida. Dostupné online.  
  3. a b CHU, Herman; SHAH, Gaurav; MACALL, Tom. Linear Homogeneous Ordinary Differential Equations with Constant Coefficients [online]. eFunda. Dostupné online.  
  4. a b c d e COHEN, Abraham. An Elementary Treatise on Differential Equations. [s.l.] : D. C. Heath and Company, 1906.  
  5. DAWKINS, Paul. . Dostupné online.