Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Obyčejná lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty, krátce lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty je důležitým typem diferenciálních rovnic, které lze explicitně vyřešit. Obecně má tvar:

kde

  • jsou konstanty; aby rovnice byla skutečně n-tého řádu, musí být (a bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že )
  • je nezávislá proměnná,
  • je neznámá funkce proměnné , tj. ,
  • jsou derivace funkce až do řádu
  • je libovolná funkce proměnné .

Postup řešení[editovat | editovat zdroj]

Při řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty se nejdříve řeší přidružená homogenní rovnice, v níž je nahrazeno nulou; její obecné řešení označíme . Pak je nutné nalézt alespoň jedno partikulární řešení původní rovnice. K tomu je možné použít metodu variace konstant nebo řešení odhadnout podle tvaru funkce . Obecné řešení původní nehomogenní rovnice je pak součet

.

Homogenní rovnice[editovat | editovat zdroj]

Homogenní rovnice n-tého řádu má tvar:

Důležitou charakteristikou takovéto rovnice je charakteristická rovnice:

V případě, že má polynom jen jednoduché kořeny , je obecným řešením rovnice:

V případě, že má kořen násobnost k, pak je zřejmé, že uvedené řešení by neobsahovalo dostatečný počet integračních konstant. V tom případě využijeme skutečnosti, že rovnici řeší i tyto lineárně nezávislé funkce:

které ke k-násobnému kořenu poskytují právě k lineárně nezávislých řešení. Obecné řešení (obecný integrál) je pak lineární kombinace uvedených funkcí, pro všechny kořeny s libovolnou násobností. Protože je součet násobností všech kořenů roven n, má výsledné řešení n integračních konstant.

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • ČUŘÍK, František. Matematika. 2. vyd. Praha: Česká matice technická, 1944. 
  • Aplikovaná matematika. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1978. (Oborové encyklopedie). 

Související články[editovat | editovat zdroj]