Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty

Obyčejná lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty, krátce lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty je důležitým typem diferenciálních rovnic, které lze explicitně vyřešit. Obecně má tvar:

$a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=g(x)$

kde

$a_{0},a_{1},\ldots a_{n}$ jsou konstanty; aby rovnice byla skutečně n-tého řádu, musí být $a_{n}\neq 0$ (a bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že $a_{n}=1$ )
$x$ je nezávislá proměnná,
$y$ je neznámá funkce proměnné $x$ , tj. $y=y(x)$ ,
$y',y'',\ldots y^{(n-1)},y^{(n)}$ jsou derivace funkce $y$ až do řádu $n$
$g(x)$ je libovolná funkce proměnné $x$ .

Postup řešení

Při řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty se nejdříve řeší přidružená homogenní rovnice, v níž je $g(x)$ nahrazeno nulou; její obecné řešení označíme $y_{h}$ . Pak je nutné nalézt alespoň jedno partikulární řešení $y_{p}$ původní rovnice. K tomu je možné použít metodu variace konstant nebo řešení odhadnout podle tvaru funkce $g(x)$ . Obecné řešení původní nehomogenní rovnice je pak součet

y=y_{h}+y_{p}

.

Homogenní rovnice

Homogenní rovnice n-tého řádu má tvar:

$a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0$

Důležitou charakteristikou takovéto rovnice je charakteristická rovnice:

$a_{n}\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=0$

V případě, že má polynom jen jednoduché kořeny $\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n}$ , je obecným řešením rovnice:

$y=C_{1}e^{\lambda _{1}x}+C_{2}e^{\lambda _{2}x}+\cdots +C_{n}e^{\lambda {n}x}$

V případě, že má kořen $\lambda _{i}$ násobnost k, pak je zřejmé, že uvedené řešení by neobsahovalo dostatečný počet integračních konstant. V tom případě využijeme skutečnosti, že rovnici řeší i tyto lineárně nezávislé funkce:

$e^{\lambda _{i}x},xe^{\lambda _{i}x},x^{2}e^{\lambda _{i}x},\cdots ,x^{k-1}e^{\lambda _{i}x}$

které ke k-násobnému kořenu poskytují právě k lineárně nezávislých řešení. Obecné řešení (obecný integrál) je pak lineární kombinace uvedených funkcí, pro všechny kořeny s libovolnou násobností. Protože je součet násobností všech kořenů roven n, má výsledné řešení n integračních konstant.

Literatura

ČUŘÍK, František. Matematika. 2. vyd. Praha: Česká matice technická, 1944.
Aplikovaná matematika. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1978. (Oborové encyklopedie).

Související články