Divergence (operátor)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
(přesměrováno z Nabla)
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Vektorové pole na obrázku má kladnou divergenci, protože tok ven převažuje a tato vlastnost zůstane i po limitním stažení kruhu do bodu.

Divergence je diferenciální operátor udávající, zda tok vyjádřený vektorovým polem v daném místě sílí či slábne a jak intenzivně.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Operátor divergence je definován jako působení operátoru nabla prostřednictvím skalárního součinu na vektorovou funkci :

kde , kde jsou spojitě diferencovatelné funkce proměnných a vektory jsou vektory kanonické ortonormální báze 3rozměrného Eukleidovského prostoru ve směrech kartézských souřadných os .

Operátor divergence se označuje . Pro výpočet divergence vektorového pole dvou proměnných formálně dodefinováváme třetí komponentu nulovou.

Nabla je diferenciální operátor, značí se symbolem (tj. symbolem nabla, názvu hebrejského strunného nástroje podobného tvaru), jakožto notací pro zkrácený zápis. Svým diferenciálním charakterem působí operátor napravo (tedy na symboly stojící napravo od něj), přičemž se projevuje jeho vektorový charakter. Zcela výjimečně se lze setkat také s tím, že je operátor nabla označován jako Hamiltonův operátor, neboť jej jako první používal sir William Rowan Hamilton. Označení Hamiltonův operátor je však téměř výhradně používáno pro hamiltonián. To je operátor celkové energie v kvantové mechanice, který se od operátoru nabla zásadně liší.

V -rozměrném prostoru lze operátor divergence vyjádřit působením operátoru nabla prostřednictvím skalárního součinu na vektor :

,

kde operátor nabla má tvar: .

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Jsou-li , vektorová pole, skalární pole, , reálná čísla, potom operátor divergence splňuje následující rovnosti:

.

Pro divergenci vektorového součinu platí:

,

kde je rotace .

Divergence rotace je rovna nule:

.

Vyjádření v různých soustavách souřadnic[editovat | editovat zdroj]

Je-li vektorové pole v daných souřadnicích, pak platí:

Ve válcových souřadnicích má operátor divergence tvar:

.

Ve sférických souřadnicích má operátor divergence tvar:

.

V obecných ortogonálních souřadnicích má divergence s využitím Laméových koeficientů ,, tvar:

.

Zápis význačných vzorců pomocí operátoru nabla[editovat | editovat zdroj]

Pro libovolná skalární pole , , a vektorová pole , platí následující početní operace:

(viz také Laplaceův operátor)

Souvislost s Laplaceovým operátorem[editovat | editovat zdroj]

Platí, že operátor nabla na druhou funkce je Laplaceův operátor dané funkce:

.

Toto má uplatnění například v matematické fyzice, objevuje se například v Poissonově rovnici, rovnici vedení tepla, vlnové rovnici a Schrödingerově rovnici.

Užití[editovat | editovat zdroj]

Je-li např. zkoumaným polem tok tepla, potom v případě stacionárního vedení tepla kladná divergence v daném bodě znamená, že v daném bodě vzniká teplo, záporná naopak, že v daném místě teplo zaniká.

V praktických aplikacích divergence figuruje v rovnici kontiniuty a používá se tak k modelování vedení tepla, difuze, proudění podzemní vody a obecně k matematickému modelování transportních dějů.

Ve vektorové analýze divergenci využívá Gaussova věta, která převádí výpočet toku vektorového pole uzavřenou plochou na výpočet integrálu divergence daného vektorového pole přes objem plochou uzavřený.

V tenzorové analýze se operátor nabla prokázal jako důležitý příklad kovariantního tenzoru.

Ve speciální teorii relativity se používá také analogie operátoru nabla pro čtyřvektory.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]