Báze (lineární algebra)

Různá složení téhož vektoru z vektorů dvou různých bází (fialové a červené šipky).

V matematice se množina $B$ prvků vektorového prostoru $V$ nazývá báze, pokud lze každý prvek prostoru $V$ zapsat jednoznačně jako konečnou lineární kombinaci prvků množiny $B$.

Koeficienty této lineární kombinace se nazývají souřadnice nebo složky vektoru vzhledem k bázi $B$. Prvky báze se nazývají bázové vektory.

Ekvivalentně, množina $B$ je báze, pokud jsou její prvky lineárně nezávislé a každý prvek prostoru $V$ je lineární kombinací prvků množiny $B$, stručněji: báze je lineárně nezávislá generující množina.

Vektorový prostor může mít více různých bází. Všechny báze mají stejný počet prvků, který se nazývá dimenze vektorového prostoru.

Tento článek se zabývá především konečně rozměrnými vektorovými prostory, avšak mnohé principy platí i pro vektorové prostory nekonečné dimenze.

Bázové vektory nacházejí uplatnění například při studiu krystalových struktur a vztažných soustav.

Definice

Báze $B$ vektorového prostoru $V$ nad tělesem $T$ (například nad reálnými čísly $\mathbb {R}$ nebo komplexními čísly $\mathbb {C}$) je lineárně nezávislá podmnožina prostoru $V$, která generuje celý prostor $V$. Konkrétně:

• $B$ je lineárně nezávislá: Pro každou konečnou podmnožinu $\{{\boldsymbol {v}}_{1},\dotsc ,{\boldsymbol {v}}_{m}\}\subseteq B$ platí, že jestliže existují skaláry $a_{1},\dotsc ,a_{m}\in T$ takové, že $a_{1}{\boldsymbol {v}}_{1}+\dotsb +a_{m}{\boldsymbol {v}}_{m}={\boldsymbol {0}}$, pak nutně $a_{1}=\dotsb =a_{m}=0$.

• $B$ generuje prostor $V$: Pro každý vektor ${\boldsymbol {v}}\in V$ existují skaláry $a_{1},\dotsc ,a_{n}\in T$ a vektory ${\boldsymbol {v}}_{1},\dotsc ,{\boldsymbol {v}}_{n}\in B$ takové, že ${\boldsymbol {v}}=a_{1}{\boldsymbol {v}}_{1}+\dotsb +a_{n}{\boldsymbol {v}}_{n}$. Skaláry $a_{i}$ se nazývají souřadnice vektoru ${\boldsymbol {v}}$ vzhledem k bázi $B$ a díky první vlastnosti (lineární nezávislosti) jsou jednoznačně určeny. Taková množina se nazývá systém generátorů prostoru $V$.

Vektorový prostor, který má konečnou bázi, se nazývá konečně rozměrný. Pokud ve vektorovém prostoru existuje konečný systém generátorů, je konečně rozměrný, a podmínku lineární nezávislosti stačí ověřit jen pro celou množinu $B$, protože pak jsou lineárně nezávislé i všechny její podmnožiny.

Při zápisu souřadnic vektoru vzhledem k bázi nebo při zkoumání orientace prostoru jsou uvažovány uspořádáné báze. Uspořádání se obvykle provádí očíslováním nebo indexací vektorů báze.

Standardní báze

Zejména u aritmetických vektorových prostorů a také u prostorů posloupností, matic a polynomů se zavádí standardní báze, které mají jednoduchý tvar a s nimiž se snadno pracuje.

Ukázky

Tento obrázek znázorňuje standardní bázi v prostoru $\mathbb {R} ^{2}$. Modrý a oranžový vektor představují prvky báze; zelený vektor lze vyjádřit pomocí vektorů báze, a proto je na nich lineárně závislý.

Množina $\mathbb {R} ^{2}$ uspořádaných dvojic reálných čísel je vektorový prostor vzhledem k operacím:

• sčítání po složkách: $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$,

• skalárnímu násobku: $\lambda (a,b)=(\lambda a,\lambda b)$, kde $\lambda$ je libovolné reálné číslo.

Jednoduchou bází tohoto vektorového prostoru je dvojice vektorů ${\boldsymbol {e}}_{1}=(1,0)$ a ${\boldsymbol {e}}_{2}=(0,1)$. Tyto vektory tvoří bázi, nazývanou často standardní báze, nebo kanonická báze, protože každý vektor ${\boldsymbol {v}}=(a,b)$ z prostoru $\mathbb {R} ^{2}$ lze jednoznačně vyjádřit jako:

${\boldsymbol {v}}=a{\boldsymbol {e}}_{1}+b{\boldsymbol {e}}_{2}$.

Každá jiná dvojice lineárně nezávislých vektorů v $\mathbb {R} ^{2}$, například $(1,1)$ a $(-1,2)$, tvoří rovněž bázi prostoru $\mathbb {R} ^{2}$, ovšem takové báze nejsou považovány za standardní.

Obecněji, pokud je $T$ těleso, pak množina všech $n$-tic prvků z $T$ tvoří vektorový prostor $T^{n}$s obdobně definovaným sčítáním a skalárními násobky po složkách. V tomto prostoru lze zavést vektory ${\boldsymbol {e}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {e}}_{n}$ ve tvaru ${\boldsymbol {e}}_{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)$, kde vektor ${\boldsymbol {e}}_{i}$ je $n$-tice se všemi složkami nulovými až na $i$-tou, která je rovna jedné. Uspořádaná posloupnost vektorů $({\boldsymbol {e}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {e}}_{n})$ tvoří standardní bázi prostoru $T^{n}$.

Přímým zobecněním standardní báze aritmetických vektorových prostorů konečné dimenze, t.j. uspořádaných $n$-tic čísel, je standardní báze prostoru číselných posloupností, která je tvořena posloupnostmi tvaru

${\begin{aligned}(e_{1})_{i=1}^{\infty }&=&(1,0,0,\ldots ,0,\ldots ),\\(e_{2})_{i=1}^{\infty }&=&(0,1,0,\ldots ,0,\ldots ),\\(e_{3})_{i=1}^{\infty }&=&(0,0,1,\ldots ,0,\ldots ),\\&\vdots &\\(e_{j})_{i=1}^{\infty }&=&(0,0,0,\ldots ,1,\ldots ),\\&\vdots &\\\end{aligned}}$

V kompaktnějším tvaru pak lze libovolnou posloupnost ze standardní báze zapsat jako $(e_{j})_{i}=\delta _{ij}$, kde symbol $\delta _{ij}$ je Kroneckerovo delta.

Podobně jako pro aritmetické vektorové prostory je možné definovat standardní bázi i pro vektorový prostor matic $T^{n\times m}$. Například prostor $T^{3\times 2}$ má standardní bázi tvořenou vektory

${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\\0&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\0&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\\0&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\0&1\end{pmatrix}}.$

kde 0 a 1 jsou nulový a jednotkový prvek tělesa $T$. Analogicky bychom obdrželi standardní báze i pro matice jiných rozměrů.

Další ukázkou jsou tzv. polynomiální okruhy. Je-li $T$ těleso, pak množina $T[x]$ všech polynomů v jedné proměnné $x$ s koeficienty v $T$ tvoří vektorový prostor nad tímto tělesem $T$. Jedna z bází tohoto prostoru je tzv. monomická báze $B$, která se skládá ze všech monomů: $B=\{1,x,x^{2},\ldots \}$

Každá množina polynomů, která obsahuje právě jeden polynom každého stupně (například Bernsteinovy polynomy nebo Čebyševovy polynomy), tvoří rovněž bázi. Taková množina polynomů se nazývá polynomiální posloupnost. Existuje však také mnoho dalších bází prostoru $T[x]$, které nemají tento tvar.

Hamelova báze

Pokud uvažujeme množinu s nekonečným počtem prvků, nelze jednoznačně určit bázi a tudíž i dimenzi takového prostoru. Připustíme-li však platnost axiomu výběru, lze ukázat, že každý vektorový prostor má bázi (viz oddíl Existence báze). U nekonečně-rozměrných prostorů této bázi říkáme Hamelova báze. Je pojmenována po německém matematikovi Georgu Hamelovi. Připomeňme, že v definici lineárního obalu a lineárně nezávislé množiny vždy uvažujeme jen konečné lineární kombinace. V případě konečně rozměrných prostorů se Hamelova báze redukuje na běžnou bázi vektorového prostoru a je tedy přímým zobecněním báze konečně rozměrného vektorového prostoru na nekonečně rozměrný případ.

Příkladem Hamelovy báze je standardní báze prostoru posloupností či standardní báze prostoru polynomů.

Schauderova báze

Při práci s nekonečně-rozměrnými prostory není pojem Hamelovy báze dostačující. Definují se tak jiné báze. Máme-li vektorový prostor vybaven normou, který je navíc v dané normě úplný, můžeme jako nejpřímější zobecnění Hamelovy báze zavést Schauderovu bázi, která je pojmenována po svém tvůrci, polském matematikovi J. Schauderovi. Příkladem úplného vektorového prostoru s normou jsou Hilbertovy či obecněji Banachovy prostory. Občas se přízvisko v kontextu těchto prostorů vynechává a hovoří se pouze o bázi. Schauderova báze je v těchto prostorech definována následovně :

Nechť $B$ je Banachův prostor definovaný nad tělesem $T$, označme si jeho normu jako $\|\cdot \|$. Pak posloupnost $({\vec {e}}_{i})_{i=1}^{\infty }$ prvků z $B$ nazveme (Schauderovou) bází tohoto prostoru, jestliže pro každý vektor ${\vec {x}}\in B$ existuje právě jedna posloupnost $(\alpha _{i})_{i=1}^{\infty }$ prvků z $T$ tak, že platí:

${\vec {x}}=\sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}{\vec {e}}_{i}.$

Rovnost výše je přitom chápána ve smyslu:

$\lim _{n\to \infty }{\Bigg \|}{\vec {x}}-\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {e}}_{i}{\Bigg \|}=0.$

Schauderova báze je oproti té Hamelově tedy obecnější v tom, že uvažuje i lineární kombinace "nekonečně" mnoha prvků. Není to však už báze vektorového prostoru (v algebraicekém smyslu). Lze říci, že zatímco je Hamelova báze množina, jejíž lineární obal je roven celému vektorovému prostoru, tak Schauderova báze je množina, pro niž uzávěr jejího lineárního obalu je roven celému Banachovu prostoru. V případě konečně-rozměrných prostorů se pojem Schauderovy báze redukuje na běžnou definici báze vektorového prostoru.

Ortogonální a ortonormální báze

Podrobnější informace naleznete v článcích Ortogonalita a Ortonormalita.

Důležitou roli v prostorech se skalárním součinem, tedy např. v Hilbertových prostorech, hrají báze ortonormální, resp. ortogonální. Na prostorech konečné dimenze je ortogonální báze speciálním případem klasické báze, jejíž prvky navíc splňují vlastnost, že jsou na sebe kolmé. Ortogonální báze konečněrozměrného prostoru se skalárním součinem je tedy množina $\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}$, která generuje celý prostor a pro jejíž prvky platí:

$\langle {\vec {x_{i}}},{\vec {x_{j}}}\rangle =0\quad \Leftrightarrow \quad i\neq j,$

kde $i,j\in \{1,\ldots ,n\}$. Ortogonalita vektorů totiž už zajišťuje jejich lineární nezávislost. Častěji užívaná je ale ortonormální báze, která má oproti ortogonální bázi ještě ten požadavek, že mají všechny její prvky jednotkovou velikost a platí:

$\langle {\vec {e_{i}}},{\vec {e_{j}}}\rangle =\delta _{ij},$

kde $\delta _{ij}$ značí Kroneckerovo delta a $i,j\in \{1,\ldots ,n\}$.

V prostorech nekonečněrozměrných se pak ortogonální báze definuje jako ortogonální množina, která je v daném Hilbertově prostoru totální. Podobně, ortonormální báze je taková podmnožina nekonečněrozměrného Hilbertova prostoru, která je ortonormální a totální v tomto prostoru. Ortogonální množina je přitom taková množina nenulových vektorů z Hilbertova prostoru, jejíž každé dva prvky jsou ortogonální. Ortonormální množina je pak taková ortogonální množina, jejíž každý prvek má jednotkovou velikost, tj. pro každý její prvek ${\vec {x}}$ platí $\|{\vec {x}}\|=1$. To, že je nějaká množina totální ve své nadmnožině, znamená, že uzávěr jejího lineárního obalu je roven této nadmnožině.

Z vlastností ortonormálních bází lze odvodit velmi užitečné vztahy, jako např. Parsevalovu rovnost, Besselovu nerovnost či rozklad vektoru za pomoci Fourierových koeficientů.

Ukázky

Jednou z bází aritmetického vektorového prostoru $\mathbb {R} ^{3}$ je i množina tvořená vektory

${\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.$

Tato báze je ortogonální vůči standardnímu skalárnímu součinu $({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}\cdot y_{1}+x_{2}\cdot y_{2}+x_{3}\cdot y_{3}.$ Normalizace těchto tří vektorů, tj. vydělení jejich (Euklidovou) normou, vede na ortonormální bázi prostoru $\mathbb {R} ^{3}$ tvaru

${\frac {1}{\sqrt {2}}}\,{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}},\quad {\frac {1}{\sqrt {2}}}\,{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.$

Pro ukázku báze nekonečně rozměrného Hilbertova prostoru uvažujme Hilbertův prostor $L^{2}(0,2\pi )$ kvadraticky integrabilních funkcí definovaných na intervalu $(0,2\pi )$. Lze ukázat, že množina funkcí tvaru

$f_{k}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot e^{\mathrm {i} kx},$

kde index $k$ probíhá množinu celých čísel $\mathbb {Z}$, je ortonormální báze tohoto prostoru. Této bázi se říká trigonometrická báze prostoru $L^{2}(0,2\pi )$.

Jako další příklad si uveďme Hilbertův prostor $L^{2}(-1,1)$ kvadraticky integrabilních funkcí definovaných na intervalu (-1,1). O něm lze zase ukázat, že jedna z jeho ortonormálních bází je množina tvořená funkcemi tvaru

$f_{l}(x)={\sqrt {l+{\frac {1}{2}}}}\cdot P_{l}(x),\quad {\text{kde}}\quad P_{l}(x)={\frac {1}{2^{l}l!}}{\frac {\mathrm {d} ^{l}}{\mathrm {d} x^{l}}}(x^{2}-1)^{l}$

jsou Legendrovy polynomy a kde $l\in \{0,1,2,\ldots \}$.

Vlastnosti

Řada vlastností konečných bází vyplývá z Steinitzovy věty o výměně. Ta předpokládá, že je dána konečná množina vektorů $S$ generujících vektorový prostor $V$ spolu s lineárně nezávislou množinou $L$. Podle věty lze množinu $L$ vždy doplnit vhodně vybranými prvky z $S$ tak, že vznikne množina generující prostor $V$, která má stejnou mohutnost jako $S$ (a navíc tudíž obsahuje i $L$).

Většina vlastností vyplývajících ze Steinitzovy věty zůstává pravdivá i v případě, že neexistuje konečná generující množina, ale jejich důkazy v nekonečném případě obvykle vyžadují axiom výběru nebo jeho slabší formu, například větu o ultrafiltrech.

Pokud je $V$ vektorový prostor nad tělesem $T$, pak platí:

• Pokud je $L$ lineárně nezávislá podmnožina generující množiny $S\subseteq V$, pak existuje báze $B$, taková že $L\subseteq B\subseteq S$.
• $V$ má bázi (to je předchozí vlastnost s $L$ jako prázdnou množinou a $S=V$).
• Tzv. věta o dimenzi: Všechny báze $V$ mají stejnou kardinalitu, která se nazývá dimenze $V$.
• Generující množina $S$ je báze $V$ právě tehdy, je-li minimální, tj. žádná vlastní podmnožina $S$ není také generující množinou $V$.
• Lineárně nezávislá množina $L$ je báze právě tehdy, je-li maximální, tj. není vlastní podmnožinou žádné jiné lineárně nezávislé množiny.

Vztah dimenze a báze

• Každé dvě různé báze daného vektorového prostoru mají stejný počet prvků.

Důkaz: Mějme dvě báze ${\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{m}$ a ${\vec {y}}_{1},\ldots ,{\vec {y}}_{n}$ téhož vektorového prostoru. Bez újmy na obecnosti nechť $m<n$. Protože je ${\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{m}$ báze, lze s její pomocí vyjádřit všechny vektory ${\vec {y}}_{1},\ldots ,{\vec {y}}_{n}$, které tak leží v lineárním obalu $\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{m}\}_{\text{lin}}$. Použití Steinitzovy věty o výměně vede ihned ke sporu. $\square$

• Nechť je $\dim V=n\in \mathbb {N}$. Pak ve $V$ existuje n-členná báze.

Důkaz: Z předpokladů ve $V$ existuje n-členný lineárně nezávislý soubor vektorů ${\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$. Aby tento soubor splňoval definiční podmínky báze, stačí ověřit, že libovolný vektor ${\vec {x}}$ z prostoru $V$ je vyjádřen jako lineární kombinace tohoto souboru. Předpokládejme, že existuje vektor ${\vec {x}}_{0}\in V$, který takto vyjádřit nelze, pak z definice lineární nezávislosti plyne, že (n+1)-členný soubor ${\vec {x}}_{0},{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$ je lineárně nezávislý. To je ve sporu s definicí dimenze, která říká, že každý (n+1)-členný soubor je lineárně závislý.$\square$

• Nulový vektorový prostor, tj. $V\in \{{\vec {0}}\}$, nemá bázi.

Důkaz: Nulový vektorový prostor obsahuje jen nulový vektor a každý soubor obsahující jen nulový vektor je lineárně závislý, viz první tvrzení v oddílu Ostatní článku Lineární nezávislost. Není tak splněn jeden z definičních požadavků báze. $\square$

Konstrukce báze

• Z každého souboru generátorů daného vektorového prostoru lze vybrat jeho bázi. Přesněji: Nechť $V$ je nenulový vektorový prostor tvaru $V=\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}_{\text{lin}}$ kde $\{\ldots \}_{\text{lin}}$ značí lineární obal. Potom $\dim V=k\leq n$. Pokud $k<n$ pak existují indexy $i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,n\}$ takové, že $({\vec {x}}_{i_{1}},\ldots ,{\vec {x}}_{i_{k}})$ je báze $V$.

Důkaz: Buď jsou vektory ${\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$ lineárně nezávislé, a v tom případě tvoří bázi, anebo jsou lineárně závislé. V takovém případě lze z jejich souboru vyjmout jeden vektor, beze změny lineárního obalu. Takto vzniklý soubor vektorů buď už je lineárně nezávislý, anebo z něj lze znovu vyjmout jeden vektor, aniž by se změnil lineární obal souboru. Takto je možné pokračovat dál dokud zbyde jeden nenulový vektor. Nenulový, jelikož se jedná o nenulový vektorový prostor. Jeden proto, že soubor obsahující jediný nenulový vektor je vždy lineárně nezávislý. Vztah $\dim V=k\leq n$ lze dokázat přímo z definice dimenze vektorového prostoru. $\square$

• Každý lineárně nezávislý soubor ve vektorovém prostoru lze doplnit na jeho bázi. Přesněji: Nechť ${\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k}$ je lineárně nezávislý soubor vektorů z vektorového prostoru $V$ a $\dim V=n>k$. Pak existují vektory ${\vec {x}}_{k+1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$ tak, že soubor ${\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k},{\vec {x}}_{k+1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$ je báze prostoru $V$.

Důkaz: Protože $\dim V=n\geq 1$, najdeme ve $V$ bázi $\{{\vec {y}}_{1},\ldots ,{\vec {y}}_{n}\}$. Jejím lineárním obalem je celý prostor $V$, platí tak $\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k}\}_{\text{lin}}\subset \subset \{{\vec {y}}_{1},\ldots ,{\vec {y}}_{n}\}_{\text{lin}}$, tj. lineární obal vektorů ${\vec {x}}_{i}$ je podprostorem lineárního obalu vektorů ${\vec {y}}_{i}$. Tvrzení věty pak ihned dostáváme užitím Steinitzovy věty o výměně. $\square$

• V konečně-dimenzionálním prostoru dimenze n je bází každá množina obsahující n lineárně nezávislých vektorů.

Důkaz: Mějme n lineárně nezávislých vektorů ${\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$ v prostoru dimenze n, které generují celý vektorový prostor. Kdyby to nebyla pravda, tak by existoval vektor ${\vec {x}}_{0}$, který lze vyjádřit jako lineární kombinaci daných vektorů. Neboli soubor ${\vec {x}}_{0},{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$ by byl lineárně závislý. Máme tedy lineárně nezávislý soubor délky n+1 v prostoru dimenze n, což je ve sporu s definicí dimenze. $\square$

Existence báze

• Každý nenulový vektorový prostor má bázi. K důkazu věty je využit axiom výběru, konkrétně jeho formulaci ve tvaru Zornova lemmatu.

Důkaz: Uvažujme nenulový nekonečný vektorový prostor $V$ a systém všech jeho lineárně nezávislých podmnožin $S$. Jelikož množiny obsahující jediný nenulový vektor jsou lineárně nezávislé, je $S$ neprázdný. Díky relaci inkluze je tento systém navíc částečně uspořádaná množina. Máme-li dvě lineárně nezávislé množiny $X_{1}$, $X_{2}$ ze systému $S$, tak můžeme totiž definovat $X_{1}\leq X_{2}$, právě když $X_{1}\subset X_{2}$. Uvažujme nyní lineárně uspořádaný podsystém $S'$ z $S$. Sjednotíme-li všechny prvky podsystému $S'$, dostaneme množinu $S'_{u}$, o níž není těžké dokázat, že je jednak prvkem systému $S$, jednak že je navíc nadmnožinou všech prvků podsystému $S'$. Množina $S'_{u}$ je tedy horní závorou podsystému $S'$. Dokázali jsme tak, že každý lineárně uspořádaný podsystém systému $S$ je shora omezený. Aplikujeme-li Zornovo lemma, okamžitě dostáváme, že systém $S$ musí mít maximální prvek, označme si ho $M$. O tomto maximálním prvku se nyní budeme snažit dokázat, že je bází vektorového prostoru $V$. Protože $M$ leží v $S$, tak musí být lineárně nezávislá, navíc je to určitě podmnožina prostoru $V$. Zbývá tedy ukázat, že $M$ generuje $V$. Kdyby tomu tak nebylo, tak najdeme vektor ${\vec {x}}$ z $V$ tak, že ho nelze vyjádřit jako lineární kombinaci prvků z $M$. Množina $M\cup \{{\vec {x}}\}$ by tak byla lineárně nezávislá. Tato množina tedy patří do $S$ a přitom je větší (podle relace definované pomocí inkluze výše) než množina $M$. To je ale spor s tím, že $M$ je maximální prvek v $S$. Dokázali jsme tak, že každý nenulový vektorový prostor má bázi. $\square$

Jednoznačnost vyjádření

• Nechť $V$ je vektorový prostor konečné dimenze $\dim V=n\geq 1$ definovaný nad tělesem $T$. Dále nechť ${\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$ je báze. Pak pro libovolný vektor ${\vec {x}}\in V$ existuje právě jedna uspořádaná n-tice $(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ prvků z tělesa $T$ taková, že:

${\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}.$

Důkaz: Existence nějaké n-tice prvků z tělesa splňující rovnost je zajištěna z definice báze. Je tedy nutné jen ověřit její jednoznačnost. Pro spor tedy předpokládejme existenci ještě jiné n-tice prvků $(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})$, splňující tentýž vztah. Platí tedy ${\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}{\vec {x}}_{i}$. Neboli ${\vec {0}}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}-\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}{\vec {x}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}(\alpha _{i}-\beta _{i}){\vec {x}}_{i}$.

Protože je soubor ${\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$ lineárně nezávislý, musí být všechny koeficienty rozdílu $\alpha _{i}-\beta _{i}=0$, tedy $\alpha _{i}=\beta _{i}$, což je spor. $\square$

Souřadnicová zobrazení

Souřadnicový izomorfizmus

Pro každý vektor konečněrozměrného vektorového prostoru $V_{n}$ s danou n-člennou bází existuje právě jedna n-tice prvků z tělesa $T$, jeho souřadnice. Je tak definováno zobrazení z vektorového prostoru $V_{n}$ do množiny $T^{n}$, které každému vektoru z $V$ přiřadí jeho souřadnice v dané bázi. Toto zobrazení se nazývá souřadnicový izomorfizmus (přidružený k dané bázi), označený jako $A$. Platí tedy, že $A:V_{n}\to T^{n}$, a explicitně:

$A({\vec {x}})=A{\Big (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}{\Big )}=(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}).$

Izomorfizmus je v kontextu lineární algebry bijektivní zobrazení. Je nutno nejdříve ověřit, že dané zobrazení splňuje linearitu. Pro libovolné vektory:

${\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i},\quad {\vec {y}}=\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}{\vec {x}}_{i}$

platí, že jejich součet má souřadnice rovné součtům souřadnic a podobně jejich násobek má souřadnice rovné násobku souřadnic. Neboli:

${\vec {x}}+{\vec {y}}=\sum _{i=1}^{n}(\alpha _{i}+\beta _{i}){\vec {x}}_{i},\quad \alpha {\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}(\alpha \alpha _{i}){\vec {x}}_{i},$ kde $\alpha \in T$.

Platí tedy vztahy $A({\vec {x}}+{\vec {y}})=A({\vec {x}})+A({\vec {y}})$ a $A(\alpha {\vec {x}})=\alpha A({\vec {x}})$ a lze tak uzavřít, že $A$ je lineární zobrazení a pro každou n-tici prvků z $T$ existuje vektor z $V_{n}$, jehož souřadnice jsou rovny právě této n-tici. Navíc je tento vektor určen jednoznačně. Zobrazení $A$ je tak prosté a na, tedy isomorfizmus. $\square$

Souřadnicový funkcionál

Pokud nás zajímá jen souřadnice odpovídající jednomu konkrétnímu bazickému vektoru, můžeme si definovat zobrazení, které vektoru přiřazuje právě jen tuto souřadnici. Řekněme, že ve vektorovém prostoru $V_{n}$ konečné dimenze definovaném nad tělesem $T$ máme bázi ${\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$ a zajímá nás nyní j-tá souřadnice vektorů z $V_{n}$ ve zmíněné bázi, kde $j\in \{1,\ldots ,n\}$. Pak lze definovat zobrazení $\varphi _{j}:V_{n}\to T$, které každému vektoru ${\vec {x}}\in V_{n}$ přiřadí jeho j-tou souřadnici. Tomuto zobrazení se říká (j-tý) souřadnicový funkcionál v bázi ${\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$. Platí tedy

$\varphi _{j}({\vec {x}})=\varphi _{j}{\Big (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}{\Big )}=\alpha _{j}.$

Funkcionál je obecně zobrazení zobrazující z vektorového prostoru do jeho tělesa. Naprosto analogicky případu pro souřadnicový izomorfizmus bychom ukázali, že souřadnicový funkcionál je lineární zobrazení. Platí i pěkný vztah

$\varphi _{j}({\vec {x}}_{k})=\delta _{jk},$

kde $\varphi _{j}$ je j-tý souřadnicový funkcionál pro bázi ${\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$, vektor ${\vec {x}}_{k}$ je k-tý bazický vektor a $\delta _{jk}$ je Kroneckerovo delta. Tento vztah plyne ihned z definice souřadnicového funkcionálu, uvědomíme-li si, že platí ${\vec {x}}_{k}=\sum _{i=1}^{n}\delta _{ik}{\vec {x}}_{i}$.

Souřadnicové funkcionály mají i tu vlastnost, že tvoří bázi duálního prostoru k vektorovému prostoru $V_{n}$. Každý vektor z $V_{n}$ lze totiž psát ve tvaru

${\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}\varphi _{i}({\vec {x}}){\vec {x}}_{i}.$

Máme-li nyní libovolný lineární funkcionál $h$ z duálního prostoru $V^{\#}$, tak jeho působení na libovolný vektor ${\vec {x}}$ můžeme vyjádřit ve tvaru

$h({\vec {x}})=h{\Big (}\sum _{i=1}^{n}\varphi _{i}({\vec {x}}){\vec {x}}_{i}{\Big )}=\sum _{i=1}^{n}\varphi _{i}({\vec {x}})h({\vec {x}}_{i}).$

Nezajímá-li nás nyní konkrétní vektor ${\vec {x}}$, ale tvar samotného zobrazení, tak můžeme shrnout

$h=\sum _{i=1}^{n}h({\vec {x}}_{i})\varphi _{i}.$

Výrazy $h({\vec {x}}_{i})$ jsou totiž nyní prvky z tělesa a máme tak funkcionál $h$ vyjádřen jako lineární kombinaci souřadnicových funkcionálů. Lineární funkcionály tedy generují duální prostor. Dokažme si ještě jejich lineární nezávislost. Za tím účelem uvažujme jejich obecnou lineární kombinaci dávající nulový vektor, nulový funkcionál

$\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\varphi _{i}=0.$

Na pravé straně rovnosti je zobrazení, které každému vektoru přiřadí nulový prvek z tělesa. Abychom dokázali lineární nezávislost souboru lineárních funkcionálů, musíme ukázat, že každý koeficient $\alpha _{i}$ je nulový. To ale není těžké dokázat, pokud do vztahu výše dosadíme bazické vektory. Pro j-tý bazický vektor je pravá strana nulová, zatímco na levé straně dostaneme

$\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\varphi _{i}({\vec {x}}_{j})=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\delta _{ij}=\alpha _{j}.$

Vidíme tak, že koeficient $\alpha _{j}$ je nulový. Stejně bychom postupovali i pro zbylé koeficienty. Dokázali jsme tak lineární nezávislost a můžeme shrnout, že soubor lineárních funkcionálů je bází duálního prostoru k prostoru $V_{n}$.

Přechod mezi bázemi

Podrobnější informace naleznete v článku Matice přechodu.

Jak již bylo zmíněno, v nenulovém vektorovém prostoru lze nalézt více bází. V nenulových komplexních vektorových prostorech konečné dimenze je těchto bází dokonce nekonečně mnoho. Vždy totiž můžu libovolný vektor báze vynásobit nějakým nenulovým číslem. Lineární nezávislost ani schopnost souboru generovat prostor to nezmění, dostávám tak jinou, lehce odlišnou bázi. Protože je čísel nekonečně mnoho, mohu takto obdržet nekonečně mnoho bází. Pro práci s vektory se hodí různé báze v závislosti na úloze, je tedy velmi užitečné najít jednoduchý způsob, jak vektory vyjádřené souřadnicemi v jedné bázi vyjádřit pomocí souřadnic v bázi druhé. Za tímto účelem se zavádí matice přechodu mezi bázemi. Pokud si souřadnice daného vektoru narovnáme do sloupce, tak souřadnice téhož vektoru v nové bázi získáme tak, že tento sloupec zleva vynásobíme maticí přechodu.

Matice přechodu – úvod

Ukažme si nejprve, jak se k matici přechodu dospěje a pak si uveďme formální definici. Pro konkrétnost nechť $X=\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}$ a $Y=\{{\vec {y}}_{1},\ldots ,{\vec {y}}_{n}\}$ jsou dvě různé báze prostoru $V_{n}$. Vektory jedné báze tak lze vyjádřit jako lineární kombinace vektorů druhé báze jako

${\vec {y}}_{i}=\sum _{j=1}^{n}\gamma _{ij}{\vec {x}}_{j}.$

Máme-li tedy libovolný vektor ${\vec {x}}$ z prostoru $V_{n}$, lze tento napsat jednak v bázi $X$ ve tvaru ${\vec {x}}=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}{\vec {x}}_{j}$, jednak v bázi $Y$ ve tvaru ${\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}{\vec {y}}_{i}$. Platí tedy, že

${\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}{\vec {y}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}\left(\sum _{j=1}^{n}\gamma _{ij}{\vec {x}}_{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\beta _{i}\gamma _{ij}{\vec {x}}_{j}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}\gamma _{ij}\right){\vec {x}}_{j}=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}{\vec {x}}_{j}.$

Protože je vyjádření vektoru ${\vec {x}}$ v libovolné bázi jednoznačné, viz oddíl Jednoznačnost vyjádření, musí se rovnat koeficienty v posledních dvou výrazech a dostáváme tak

$\alpha _{j}=\sum _{j=1}^{n}\beta _{i}\gamma _{ij}.$

Tento vztah lze zapsat maticově ve tvaru

${\vec {\alpha }}={}_{X}P_{Y}\,{\vec {\beta }},$

kde ${\vec {\alpha }}=(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$, ${\vec {\beta }}=(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})$ a ${}_{\mathcal {X}}P_{\mathcal {Y}}$ je tzv. matice přechodu, jejíž prvky jsou $({}_{\mathcal {X}}P_{\mathcal {Y}})_{ij}=\gamma _{ij}$.

Matice přechodu – definice

Uveďme si nyní definici matice přechodu. Nechť $V_{n}$ je vektorový prostor konečné dimenze $n$ definovaný nad tělesem $T$. Nechť $X=\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}$ a $Y=\{{\vec {y}}_{1},\ldots ,{\vec {y}}_{n}\}$ jsou dvě různé báze tohoto prostoru. Pak matice přechodu $_{X}P_{Y}$ od báze $X$ k bázi $Y$ je matice z $T^{n\times n}$ splňující

$(_{X}P_{Y})_{ij}=\varphi _{i}({\vec {y}}_{j}),$

kde $\varphi _{i}$ jsou souřadnicové funkcionály přidružené k bázi $X$. V matici přechodu je tedy v i-tém řádku a j-tém sloupci i-tá souřadnice bazického vektoru ${\vec {y}}_{j}$, když ho popisujeme v bázi $X$. Alternativně můžeme matici přechodu od báze X k bázi Y definovat jako matici zobrazení pro izomorfizmus, která je vyjádřena v bázích X a Y.

Mějme nyní vektor ${\vec {a}}$ z vektorového prostoru $V_{n}$ výše. Nechť $(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ jsou jeho souřadnice v bázi $X$ a $(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})$ jsou jeho souřadnice v bázi $Y$. Pak platí

${\begin{pmatrix}\,~&\,~&\,~\\\,~&_{X}P_{Y}&\,~\\\,~&\,~&\,~\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\beta _{1}\\\vdots \\\beta _{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{pmatrix}}.$

Dokažme si nyní tento vztah. Důkaz bude v podstatě totožný s postupem, který jsme použili v předchozím oddíle. Víme, že platí ${\vec {a}}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}{\vec {y}}_{i}$. Protože stále pracujeme s tímtéž vektorovým prostorem, můžeme si vektory báze $Y$, jako kterékoli jiné vektory, vyjádřit v bázi $X$. Pro tyto vektory pak platí vztahy

${\vec {y}}_{i}=\sum _{j=1}^{n}\varphi _{j}({\vec {y}}_{i}){\vec {x}}_{j},$

kde výraz $\varphi _{j}({\vec {y}}_{i})$ je poněkud komplikovanější způsob zápisu j-té souřadnice vektoru ${\vec {y}}_{i}$ v bázi $X$. Když tento vztah dosadíme do vyjádření vektoru ${\vec {a}}$, dostáváme

${\vec {a}}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}{\vec {y}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}\sum _{j=1}^{n}\varphi _{j}({\vec {y}}_{i}){\vec {x}}_{j}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}\varphi _{j}({\vec {y}}_{i}){\vec {x}}_{j}.$

Protože jsou indexy i a j sčítací, můžeme je bez následků přejmenovat. Přejmenujme tedy index i v sumě, která se nachází úplně vpravo ve výrazu výše, na k. Navíc přejmenujme ve stejném výrazu index j na i. Výraz za posledním rovnítkem výše tedy přejde do tvaru

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}\varphi _{i}({\vec {y}}_{k}){\vec {x}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\Bigg (}\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}\varphi _{i}({\vec {y}}_{k}){\Bigg )}{\vec {x}}_{i}.$

Při pohledu zpět na předchozí rovnosti vidíme, že tento poslední výraz je roven vektoru ${\vec {a}}$ a tedy i platí rovnost

$\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\Bigg (}\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}\varphi _{i}({\vec {y}}_{k}){\Bigg )}{\vec {x}}_{i},$

odkud je hned vidět, že $\alpha _{i}=\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}\varphi _{i}({\vec {y}}_{k})$. Tento vztah ale není nic jiného, než definice násobení i-tého řádku matice s prvky $\varphi _{i}({\vec {y}}_{k})$ sloupcovým vektorem se složkami $\beta _{k}$. Dokázali jsme tak vztah pro převod souřadnic vektoru z jedné báze do druhé.

Jednoduchý příklad na sestrojení matice přechodu pro vektorový prostor dimenze tři lze nalézt v oddíle Příklad 3 – Matice přechodu níže.

Ukázka

Uvažujme vektorový prostor $\mathbb {R} ^{3}$ z předchozího příkladu, jeho standardní bázi, kterou si označíme ${\mathcal {S}}$, a jeho ortonormální bázi z předchozího příkladu, kterou si označíme jako ${\mathcal {O}}$. Sestrojíme nyní matici přechodu z jedné báze do druhé. Uvažujme proto obecný vektor ${\vec {x}}$, který má ve standardní bázi souřadnice $(a,b,c)$. Platí tedy

${\vec {x}}=a\,{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+b\,{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}+c\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}.$

Zároveň ale chceme vektor ${\vec {x}}$ nakombinovat z vektorů druhé báze, tj. chceme najít koeficienty $k,l,m$ takové, aby platilo

${\vec {x}}={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}=k\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}+l\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+m\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}k\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}+l\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-k\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}+l\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\m\end{pmatrix}}$

Jsme-li trochu zběhlí v násobení matice sloupcovým vektorem, můžeme si hned všimnout, že lze poslední výraz přepsat do tvaru

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}k\\l\\m\end{pmatrix}},$

kde sloupcový vektor vpravo představuje souřadnice vektoru ${\vec {x}}$ v bázi ${\mathcal {O}}$. Spočetli jsme tak, že matice přechodu od báze ${\mathcal {S}}$ k bázi ${\mathcal {O}}$ je rovna

$_{\mathcal {S}}P_{\mathcal {O}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.$

Pokud nejsme tak zběhlí v násobení matic, můžeme při hledání matice přechodu vyjít z její definice. Vyjádříme si tedy vektory z báze ${\mathcal {O}}$ pomocí vektorů z báze ${\mathcal {S}}$. Dostaneme

${\vec {x}}_{1}\equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}\,{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,{\vec {e}}_{1}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,{\vec {e}}_{2},$

${\vec {x}}_{2}\equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}\,{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,{\vec {e}}_{1}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,{\vec {e}}_{2},$

${\vec {x}}_{3}\equiv {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\vec {e}}_{3},$

kde jsme jako ${\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2},{\vec {x}}_{3}$ označili vektory báze ${\mathcal {O}}$ a jako ${\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}$ jsme označili vektory báze ${\mathcal {S}}$. Platí tedy následující vztahy, kde $\varphi _{i}({\vec {x}}_{j})$ označuje i-tou souřadnici vektoru ${\vec {x}}_{j}$ v bázi ${\mathcal {S}}$

$\varphi _{1}({\vec {x}}_{1})={\frac {1}{\sqrt {2}}},\quad \varphi _{2}({\vec {x}}_{1})=-{\frac {1}{\sqrt {2}}},\quad \varphi _{3}({\vec {x}}_{1})=0,$

$\varphi _{1}({\vec {x}}_{2})={\frac {1}{\sqrt {2}}},\quad \varphi _{2}({\vec {x}}_{2})={\frac {1}{\sqrt {2}}},\quad \varphi _{3}({\vec {x}}_{2})=0,$

$\varphi _{1}({\vec {x}}_{3})=0,\quad \varphi _{2}({\vec {x}}_{3})=0,\quad \varphi _{3}({\vec {x}}_{3})=1.$

Když tyto hodnoty uspořádáme do matice dle definice, obdržíme matici přechodu vyobrazenou výše. (Pozor na indexy řádků a sloupců.)

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Basis (linear algebra) na anglické Wikipedii.

Literatura

• BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. 
• BALKOVÁ, Ľubomíra. Lineární algebra 1. Praha: Česká technika – nakladatelství ČVUT, 2013. ISBN 978-80-01-05346-1. 
• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 3. vyd. Praha: Matfyzpress, 2005. 436 s. ISBN 80-86732-57-6. 
• BLANK, Jiří; EXNER, Pavel; HAVLÍČEK, Miloslav. Lineární operátory v kvantové fyzice. Praha: Karolinum, 1993. ISBN 80-7066-586-6. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
• MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
• PYTLÍČEK, Jiří. Lineární algebra a geometrie. Praha: Česká technika – nakladatelství ČVUT, 2008. ISBN 978-80-01-04063-8. 
• VELEBIL, Jiří. Abstraktní a konkrétní lineární algebra [online]. Praha: 2023 [cit. 2025-11-15]. S. 75. Dostupné online. 

Související články

• Vektorový prostor
• Dimenze
• Lineární nezávislost
• Ortonormální báze
• Steinitzova věta o výměně

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu báze na Wikimedia Commons

Autoritní data	GND: 4228195-7

Portály: Matematika