Steinitzova věta o výměně

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Steinitzova věta o výměně je důležité tvrzení z oblasti lineární algebry pojmenované po německém matematikovi Ernstu Steinitzovi. Hraje významnou roli v důkazech mnoha dalších tvrzení, například, že všechny báze vektorového prostoru mají stejnou mohutnost a prostor má tedy jednoznačně určenou dimenzi. Dalším příkladem může být důkaz věty, že pokud má prostor konečnou bázi, pak lze libovolnou lineárně nezávislou množinu doplnit na bázi.

Znění věty[editovat | editovat zdroj]

Nechť a jsou dvě množiny vektorů z vektorového prostoru . Nechť jsou dále vektory z množiny lineárně nezávislé a každý z nich lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů z množiny . Pak platí, že . Pokud , tak je lineární obal množiny nutně roven lineárnímu obalu množiny . Neboli . (Výraz značí lineární obal množiny atd.). Dále, pokud platí ostrá nerovnost , tak existují navzájem různé indexy takové, že

Jinými slovy, mějme množinu lineárně nezávislých vektorů a dále množinu vektorů . Nechť lze navíc libovolný vektor z množiny vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů z množiny . Pak platí, že vektorů v množině nemůže být víc než vektorů v množině . Pokud jich je stejně, tak se lineární obaly množin a rovnají. Pokud je vektorů v množině více než vektorů v , tak lze ke generátorům lineárního obalu množiny přidat vhodných dodatečných vektorů z množiny tak, že tyto vektory dohromady generují lineární obal množiny .

Protože se v daném vektorovém prostoru můžeme omezit na jeho podprostor , který je současně vektorový prostor, lze Steinitzovu větu vyjádřit v kratší podobě. Vezměme rovnou . Pak:

Nechť je konečněrozměrný vektorový prostor dimenze a jeho podmnožina tvořená lineárně nezávislými vektory. Pak a prostor je generován vektory pro jisté, navzájem různé, indexy .

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Proveďme důkaz neúplnou matematickou indukcí. Předpokládejme nejprve , poté ukážeme, že předpoklad vede ke sporu. Pro počáteční krok matematické indukce uvažujme množinu vzniklou tak, že k vektorům z množiny přidáme jeden ("první") vektor z množiny . O vektorech z množiny ovšem víme, že je lze vyjádřit pomocí vektorů z a námi sestrojená množina je tak lineárně závislá. Existuje v ní tedy vektor pro jistý index , který lze nakombinovat ze zbylých vektorů této množiny. Neboli

kde symbol značí lineární obal. Ačkoliv nám lineární závislost množiny vektorů zajišťuje, že v ní existuje vektor, který lze nakombinovat pomocí ostatních, mohli jsme s klidem vzít za tento vektor jeden z vektorů množiny a ne opět vektor . To, že je množina lineárně závislá totiž znamená, že existuje netriviální lineární kombinace rovná nulovému vektoru. Kdyby a všechny ostatní koeficienty byly nulové, byl by to spor s lineární nezávislostí množiny Existuje tedy nenulový koeficient , kde je jistý index vektoru z . Tímto koeficientem můžeme dělit a vyjádřit dané pomocí zbylých vektorů způsobem

Protože vektor lze nakombinovat z vektorů z , je . Obdobně pro a máme tedy

viz (druhé) tvrzení v oddíle Ostatní v článku Lineární obal. Přikročme nyní k důkazu indukčního kroku. Předpokládejme, že pro všechna přirozená , kde , existují navzájem různé indexy tak, že

Neboť z předpokladů věty platí, že , je množina lineárně závislá, přičemž množina je lineárně nezávislá. V první jmenované množině tedy existuje vektor pro jisté (kde ), který lze vyjádřit pomocí zbylých vektorů. Postupem obdobným tomu pro dospíváme k rovnosti

Přeznačíme-li indexy u vektorů v předchozím vzorci, dostáváme vztah

který dokončuje indukční krok. Pro případ máme tedy větu dokázánu. Předpokládejme nyní, že . Kdybychom postupovali postupem stejným jako výše, tak bychom se dostali postupným přidáváním vektorů k původnímu lineárnímu obalu do stavu, kdy chceme přidat vektor , nemáme už ale žádný zbylý vektor z , za který bychom ho mohli vyměnit. Neboli bychom měli

Z předpokladů věty ale a podle rovnosti výše můžeme tento vektor vyjádřit pomocí zbylých vektorů z množiny . To je ale spor s lineární nezávislostí množiny , což dokončuje důkaz věty.

Aplikace věty[editovat | editovat zdroj]

Jako příklad užití Steinitzovy věty si dokažme následující tvrzení:

Každou lineárně nezávislou podmnožinu konečně rozměrného vektorového prostoru lze doplnit na bázi tohoto prostoru.

Mějme tedy vektorový prostor konečné (nenulové) dimenze . Existuje v něm tedy -členná báze, označme si ji . Dále mějme podmnožinu prostoru , kterou si označíme , tvořenou lineárně nezávislými vektory. Steinitzova věta nám říká, že , a navíc, že existují navzájem různé indexy tak, že

Abychom dokončili důkaz, musíme ještě ukázat, že soubor vektorů je lineárně nezávislý. Kdyby ale byl lineárně závislý, tak z něj můžeme vybrat lineárně nezávislou podmnožinu generující prostor . Tato množina by měla nejvýše prvků, což je ve sporu s tím, že dimenze prostoru je .

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • PYTLÍČEK, Jiří. Lineární algebra a geometrie. Praha : Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2008. ISBN 978-80-01-04063-8.   – skripta FJFI ČVUT

Související články[editovat | editovat zdroj]