Sdružený operátor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Sdružený operátor nebo též adjungovaný operátor je významný pojem ve funkcionální analýze.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Jsou-li a Hilbertovy prostory, pak k lineárnímu operátoru pak sdruženým operátorem , nazveme takový operátor, který splňuje:

Rieszova věta zaručuje existenci a jednoznačnost sdruženého operátoru.

Často se pro sdružený operátor též používá značení , ve fyzice někdy .

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Základní vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Je-li invertibilní, tak:
  • V prostoru konečné dimenze sdruženému operátoru odpovídá komplexně sdružená transponovaná matice, tzv. hermiteovsky sdružená neboli adjungovaná matice.

Vlastnosti normy operátoru[editovat | editovat zdroj]

Máme-li běžnou operátorovu normu

Tak platí:

A navíc:

Vztah jádra a obrazu[editovat | editovat zdroj]

Jádro sdruženého operátoru je ortogonální na obraz původního operátoru, tj:

Prvá rovnost platí protože:

Druhá rovnost vznikne jednoduše z první vzetím ortogonálního doplňku obou stran.