Unitární operátor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Unitární operátor je v matematice označení pro omezený lineární operátor U: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{K} splňující vztah: U^* = U^{-1}, tzn. adjungovaný operátor odpovídá inverznímu zobrazení. (Kde \mathcal{H} a \mathcal{K} jsou Hilbertovy prostory.)

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Alternativní definice[editovat | editovat zdroj]

Následující tvrzení jsou ekvivalentní. Vlastnosti 2. a 3. se někdy používají jako alternativní definice.

  1. U je unitární, ve smyslu definovaném výše, tedy U^* = U^{-1}
  2. U je surjektivní a je izometrií, tzn.: \|U x \| = \| x \| \ \forall x \in \mathcal{H}
  3. U je surjektivní a zachovává skalární součin, tzn.: \lang x,y \rang = \lang U x, U y \rang \ \forall x, y \in \mathcal{H}

Důkaz:

(1.) \Rightarrow (3.) \Rightarrow (2.)
U^* = U^{-1}  \Rightarrow \lang x,x \rang = \lang U^{-1}U x, x \rang =  \lang U^*U x, x \rang = \lang U x,U x \rang \Rightarrow \| x \| = \| U x \|
Protože platí U^{**} = (U^{-1})^* = (U^*)^{-1}, je U^* též unitární. Proto je unitární zobrazení vždy bijektivní a tedy i surjektivní.
(2.) \Rightarrow (1.)
Označme I identické zobrazení a připomeňme, že: \| x \|^2 = \lang x,x \rang.
\lang I x, x \rang = \lang x, x \rang = \lang T x, T x \rang = \lang T^*T x, x \rang \ \forall x \in \mathcal{H} \Rightarrow I = T^*T
Z čehož máme:  TT^* = TT^*TT^{-1} = TIT^{-1} = TT^{-1} = I \Rightarrow T^* = T^{-1}. ∎

Další vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Unitární zobrazování je někdy považováno za zobecnění komplexní jednotky pro Hilbertovy prostory, mimo výše uvedené izometrie má je ještě tyto podobné vlastnosti:

  • Složené zobrazení dvou unitárních zobrazení je unitární zobrazení.
  • Vlastní čísla unitárního operátoru jsou komplexní jednotky.
  • Unitární operátor komutuje se svým sdruženým operátorem, je takzvaně normální. Z toho podle věty o spektrálním rozkladu plyne, že jeho vlastní vektory jsou ortogonální. Lze z nich tedy sestrojit ortonormální bázi \mathcal{K}.
  • Pro Hilbertovy prostory konečné dimenze lze unitární zobrazení reprezentovat maticí n \times n, jejíž sloupcové vektory tvoří ortonormální bázi \mathbb{C}^n. Platí i opačná implikace: Matice s touto vlastností reprezentuje unitární zobrazení. Stejná vlastnost platí i pro řádkové vektory.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]