Unitární operátor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Unitární operátor je v matematice označení pro omezený lineární operátor splňující vztah: , tzn. adjungovaný operátor odpovídá inverznímu zobrazení. (Kde a jsou Hilbertovy prostory.)

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Alternativní definice[editovat | editovat zdroj]

Následující tvrzení jsou ekvivalentní. Vlastnosti 2. a 3. se někdy používají jako alternativní definice.

  1. je unitární, ve smyslu definovaném výše, tedy
  2. je surjektivní a je izometrií, tzn.:
  3. je surjektivní a zachovává skalární součin, tzn.:

Důkaz:

Protože platí , je též unitární. Proto je unitární zobrazení vždy bijektivní a tedy i surjektivní.
Označme identické zobrazení a připomeňme, že: .
Z čehož máme: . ∎

Další vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Unitární zobrazování je někdy považováno za zobecnění komplexní jednotky pro Hilbertovy prostory, mimo výše uvedené izometrie má je ještě tyto podobné vlastnosti:

  • Složené zobrazení dvou unitárních zobrazení je unitární zobrazení.
  • Vlastní čísla unitárního operátoru jsou komplexní jednotky.
  • Unitární operátor komutuje se svým sdruženým operátorem, je takzvaně normální. Z toho podle věty o spektrálním rozkladu plyne, že jeho vlastní vektory jsou ortogonální. Lze z nich tedy sestrojit ortonormální bázi .
  • Pro Hilbertovy prostory konečné dimenze lze unitární zobrazení reprezentovat maticí , jejíž sloupcové vektory tvoří ortonormální bázi . Platí i opačná implikace: Matice s touto vlastností reprezentuje unitární zobrazení. Stejná vlastnost platí i pro řádkové vektory.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]