Dělení nulou

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Dělení nulou je v matematice takové dělení, při němž je dělitel nula. Může být zapsáno jako , kde a je dělenec. V oborech reálných ani komplexních čísel nemá takové dělení smysl – nula je jediné číslo, kterým nelze dělit. V oboru komplexních čísel rozšířených o (komplexní) nekonečno je definováno pro všechny nenulové dělence jako .[1]

Při dělení v plovoucí řádové čárce může být výsledkem speciální hodnota not a number (není číslo) nebo nekonečno.

Interpretace v elementární aritmetice[editovat | editovat zdroj]

Když se mluví o dělení na základní úrovni, je často považováno za rozdělování množiny objektů na stejné části. Např.: Pokud máme deset kvádrů a rozdělíme je na skupiny po pěti, dostaneme dvě stejně velké části. To by mohla být ukázka toho, že 10/5 = 2. Dělitel je počet kvádrů v každé části a výsledek dělení odpovídá na otázku: „Pokud mám stejné části po 5 kusech, kolik takových částí musím dát dohromady, abych dostal 10 kusů?“.

Pokud tuto otázku aplikujeme na dělení nulou, otázka „Pokud mám stejné části po 0 kusech, kolik takových částí musím dát dohromady, abych dostal 10 kusů?“ nedává smysl, protože přičítáním částí o 0 prvcích se deset kusů nikdy nezíská.

Další metodou, jak popsat dělení nulou, je opakované odečítání. Např.: Pokud chceme vydělit číslo 13 pěti, odečteme od 13 dvakrát 5 a dostaneme zbytek 3. Dělitel se odečítá, dokud není zbytek menší než dělitel. V případě, že je dělitel nula, při opakovaném odečítání nuly od dělence nikdy nedosáhneme zbytku menšího než nula.

Rané pokusy[editovat | editovat zdroj]

Brahmaguptův spis Brāhmasphuṭa-siddhānta z roku 628 je první, který považoval nulu za normální číslo a definoval operace ji obsahující. Autorovi se ale nepodařilo vysvětlit dělení nulou, jeho definice vede k absurdním algebraickým závěrům. Brahmagupta píše:

Kladné nebo záporné číslo dělené nulou je zlomek se jmenovatelem nula. Nula dělená záporným nebo kladným číslem je buď nula, nebo je vyjádřena jako zlomek s čitatelem nula a konečným množstvím jako jmenovatelem. Nula dělená nulou je nula.

Mahavira se v roce 830 neúspěšně pokusil opravit Brahmaguptovu chybu:

Číslo zůstává nezměněno, když je děleno nulou.

Bháskara II. se pokusil problém vyřešit definováním . Tato definice dává určitý smysl, ale může vést k paradoxům, pokud se s ní nezachází opatrně.

Např. , což by při odstranění zlomků vycházelo . To je nesmysl.

Algebraická interpretace[editovat | editovat zdroj]

Přirozeným způsobem, jak vyložit dělení nulou, je nejprve definovat dělení pomocí jiných aritmetických operací. Podle standardních pravidel aritmetiky není dělení nulou v oborech přirozených čísel, celých čísel, racionálních čísel, reálných čísel a komplexních čísel (nerozšířených o nekonečno) definováno.

Důvodem je, že dělení je definováno jako inverzní operace k operaci násobení, hodnota je takovým číslem, pro které platí rovnice . Například

vyjadřuje fakt, že číslo je tím číslem, které lze dosadit do výrazu

.

Avšak v případě

neexistuje žádné číslo, kterým by bylo možno nahradit otazník ve výrazu

,

neboť jakékoli číslo násobené nulou je nula, nikoli šest.

Algebraicky vyjádřeno: pokud , lze rovnici zapsat jako , tedy prostě . V tomto případě tedy rovnice nemá žádné řešení, pokud , a má nekonečně mnoho řešení, pokud . Ani v jednom případě tedy výraz nedává smysl a výsledek dělení nulou tak není definován.

Mylné závěry při dělení nulou[editovat | editovat zdroj]

Pokud by bylo nějak definováno dělení nulou, mohlo by dojít k mnoha absurdním výsledkům. Příkladem je falešný důkaz, že , např.:

  1. Pro každé reálné číslo platí:
  2. Rozložíme obě strany dvěma různými způsoby
  3. Vydělíme obě strany výrazem (zde je ve skutečnosti dělení nulou, protože )
  4. Což je:
  5. Protože může nabývat jakýchkoliv hodnot, dosadíme .

Chybou je v tomto případě předpoklad, že (tzn. 0/0) se rovná 1. K podobným nesmyslm vede jakákoliv jiná hodnota přiřazená jako výsledek 0/0.

Limity a dělení nulou[editovat | editovat zdroj]

Funkce pro blížící se nule zprava jde k nekonečnu, zatímco pro blížící se nule zleva jde k minus nekonečnu

Na první pohled vypadá možné definovat jako limitu pro jdoucí k 0.

Pro každé kladné platí:

Pro každé záporné platí:

Proto můžeme uvažovat o definování a/0 jako +∞ pro kladné a a -∞ pro záporné a. Nicméně tato definice je nevyhovující ze dvou důvodů.

Zaprvé: Kladné a záporné nekonečno nejsou reálná čísla. Takže pokud chceme zůstat v oboru reálných čísel, nedefinovali jsme nic, co by dávalo smysl. Pokud chceme pracovat s takovou definicí, je nutné rozšířit obor reálných čísel.

Zadruhé: Braní limity zprava je čistě libovolné. Stejně tak bychom mohli vzít limitu zleva a definovat jako -∞ pro kladné a a +∞ pro záporné a. Toto se dá ilustrovat na rovnici:

,

což nedává smysl. To znamená, že jediným fungujícím rozšířením je zavedení nekonečna bez znaménka.

Dále neexistuje žádná zřejmá definice , která by mohla být odvozena za použití limit. Limita

neexistuje. Limita

,

kde se f(x) i g(x) blíží 0, když se x blíží 0, může konvergovat k jakékoliv hodnotě nebo nemusí konvergovat vůbec. (Viz též L'Hospitalovo pravidlo.)

Dělení nulou v počítačích[editovat | editovat zdroj]

Kalkulátor TI-86 signalizuje chybu dělení nulou

Standard IEEE pro dvojkovou aritmetiku v plovoucí řádové čárce, podporovaný skoro všemi moderními procesory, specifikuje, že každá operace v plovoucí řádové čárce včetně dělení nulou má dobře definovaný výsledek. V IEEE 754 je a ÷ 0 kladné nekonečno, pokud je a kladné; záporné nekonečno, pokud je a záporné, a NaN (not a number), pokud a = 0. V IEEE 754 jsou dvě nuly: kladná a záporná; při dělení zápornou nulou jsou ve výsledku opačná znaménka oproti uvedeným výsledkům.

S celočíselným dělením nulou se obvykle zachází jinak, protože neexistuje celočíselná reprezentace takového výsledku. Některé procesory vygenerují výjimku při pokusu o dělení nulou, jiné prostě pokračují a vygenerují nesprávný výsledek dělení (často nulu nebo velké kladné či záporné číslo jako aproximaci nekonečna), případně jde o nedefinované chování.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. M. Hušek, P. Pyrih et al. Matematická analýza 4, kapitola Komplexní funkce, s. 2. Univerzita Karlova v Praze

Související články[editovat | editovat zdroj]