Trojúhelníková nerovnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Trojúhelníková nerovnost v matematice tvrdí, že součet délek dvou stran trojúhelníku není nikdy menší než délka strany třetí. Obecněji to znamená, že cesta z A do B a pak do C není kratší než cesta z A přímo do C. Tato nerovnost je větou v mnoha oblastech matematiky, např. reálných číslech, Euklidovském prostoru, Lp prostorech. Slouží jako axiom pro zavedení pojmu normovaný vektorový prostor a metrický prostor.

Reálná a komplexní čísla[editovat | editovat zdroj]

V tělese reálných a komplexních čísel platí trojúhelníková nerovnost pro absolutní hodnoty libovolných čísel x a y ve tvaru

|x + y| \leq |x| + |y|

Odvození trojúhelníkové nerovnosti v reálných číslech[editovat | editovat zdroj]

Pro absolutní hodnotu reálného čísla vždy platí

x \leq |x| a zároveň

-x \leq |x|.

Použijeme-li obě tyto nerovnosti současně pro dvě čísla x a y a sečteme-li je, dostáváme

x + y \leq |x| + |y| a

- x - y \leq |x| + |y|.

Z definice absolutní hodnoty |x + y| víme, že může nabývat jen hodnot x + y nebo - x - y. Tedy kombinací posledních dvou nerovností dostáváme trojúhelníkovou nerovnost.

Normovaný vektorový prostor[editovat | editovat zdroj]

V normovaném vektorovém prostoru V s normou \| \cdot \| má trojúhelníková nerovnost tvar

\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|

pro každé dva vektory x a y z V.

Lp prostory[editovat | editovat zdroj]

V Lp prostorech se trojúhelníkové nerovnosti říká Minkowského nerovnost. Díky ní se ukazuje, že Lp prostory jsou normované vektorové prostory.

Metrický prostor[editovat | editovat zdroj]

V metrickém prostoru M s metrikou d má trojúhelníková nerovnost tvar:

d(x,z) \leq d(x, y) + d(y,z)

to jest, že vzdálenost x a z není větší než součet vzdálenosti z x do y a vzdálenosti z y do z.

Důsledky[editovat | editovat zdroj]

Úpravou trojúhelníkové nerovnosti dostáváme jiný vhodný tvar

\left| |x| - |y| \right| \leq |x - y| pro absolutní hodnoty v reálných a komplexních číslech,

\left| \|x\| - \|y\| \right| \leq  \|x - y\| pro normované vektorové prostory a

\left| d(x, y) - d(x,z) \right| \leq  d(y,z) pro metrické prostory.

Z těchto tvarů už plyne, že absolutní hodnota, norma i funkce d(x, \cdot) jsou Lipschitzovské, tedy i spojité funkce.