Trojúhelníková nerovnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Trojúhelníková nerovnost v matematice tvrdí, že součet délek dvou stran trojúhelníku není nikdy menší než délka strany třetí. Obecněji to znamená, že cesta z A do B a pak do C není kratší než cesta z A přímo do C. Tato nerovnost je větou v mnoha oblastech matematiky, např. reálných číslech, Euklidovském prostoru, Lp prostorech. Slouží jako axiom pro zavedení pojmu normovaný vektorový prostor a metrický prostor.

Reálná a komplexní čísla[editovat | editovat zdroj]

V tělese reálných a komplexních čísel platí trojúhelníková nerovnost pro absolutní hodnoty libovolných čísel a ve tvaru

Odvození trojúhelníkové nerovnosti v reálných číslech[editovat | editovat zdroj]

Pro absolutní hodnotu reálného čísla vždy platí

a zároveň

.

Použijeme-li obě tyto nerovnosti současně pro dvě čísla a a sečteme-li je, dostáváme

a

.

Z definice absolutní hodnoty víme, že může nabývat jen hodnot nebo . Tedy kombinací posledních dvou nerovností dostáváme trojúhelníkovou nerovnost.

Normovaný vektorový prostor[editovat | editovat zdroj]

V normovaném vektorovém prostoru s normou má trojúhelníková nerovnost tvar

pro každé dva vektory a z .

Lp prostory[editovat | editovat zdroj]

V Lp prostorech se trojúhelníkové nerovnosti říká Minkowského nerovnost. Díky ní se ukazuje, že Lp prostory jsou normované vektorové prostory.

Metrický prostor[editovat | editovat zdroj]

V metrickém prostoru s metrikou má trojúhelníková nerovnost tvar:

to jest, že vzdálenost a není větší než součet vzdálenosti z do a vzdálenosti z do .

Důsledky[editovat | editovat zdroj]

Úpravou trojúhelníkové nerovnosti dostáváme jiný vhodný tvar

pro absolutní hodnoty v reálných a komplexních číslech,

pro normované vektorové prostory a

pro metrické prostory.

Z těchto tvarů už plyne, že absolutní hodnota, norma i funkce jsou Lipschitzovské, tedy i spojité funkce.