Konvexní množina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Konvexní množina M
Nekonvexní množina N
Mnohostěn: a) konvexní, b) nekonvexní

V matematice se pod pojmem konvexní množina obvykle rozumí podmnožina Euklidovského prostoru nebo reálného afinního prostoru, která má následující vlastnost:

Jde tedy o množinu M takovou, že pro všechny body A,B\in\mathbf{M} platí

AB \subseteq \mathbf{M}.

Analyticky to lze obecně vyjádřit tak, že pro všechna a,b\in\mathbf{M} je splněna podmínka

\overline{ab} := \{\lambda a+(1-\lambda)b\mid0\leq\lambda\leq1\} \subseteq M.

Představíme-li si hranici množiny jako neprůhlednou, znamená konvexita množiny názorně to, že z každého jejího bodu je vidět každý její bod.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Průnik libovolného souboru konvexních množin je konvexní. To umožňuje pro libovolnou množinu definovat její konvexní obal jako průnik všech jejích konvexních nadmnožin. Je to její nejmenší konvexní nadmnožina (ve smyslu inkluze).
  • Každá konvexní množina je i hvězdovitě konvexní množina.
  • Konvexní množina je (obloukovitě) souvislá.
  • Sjednocení konvexních množin obecně není konvexní, např. sjednocení dvou různých jednobodových množin není konvexní.

Související články[editovat | editovat zdroj]