Rovnoběžník

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Rovnoběžník

Rovnoběžník (latinsky parallelogrammum, někdy též r(h)omboid; ve starší české literatuře kosodélník) je čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Protější strany rovnoběžníku jsou shodné (mají stejnou délku) :

Protější úhly rovnoběžníku jsou shodné. Součet velikostí vnitřních úhlů čtyřúhelníku je 360°, součet dvou sousedních úhlů je 180°.

Velikost protilehlých úhlů má stejnou velikost, platí Průsečík úhlopříček e, f rovnoběžníku je jeho středem souměrnosti. Úhlopříčka rozděluje rovnoběžník na dva shodné trojúhelníky.

Úhlopříčky rovnoběžníku se vzájemně půlí. Délky úhlopříček se počítají podle vzorce:

Rovnoběžník je ​středově souměrný, středem souměrnosti je průsečík jeho úhlopříček.

Shrnutí vlastností čtyřúhelníků. [1]

ROVNOBĚŽNÍKY
čtverec obdélník kosočtverec kosodélník
Ctverec uhlopricky.png Obdélník uhlopricky.png Kosočtverec uhlopricky.png Kosodelnik uhlopricky.png
všechny strany jsou stejně dlouhé sousední strany mají různé délky všechny strany jsou stejně dlouhé sousední strany mají různé délky
všechny vnitřní úhly jsou pravé žádný vnitřní úhel není pravý
úhlopříčky se navzájem půlí
úhlopříčky mají stejnou délku úhlopříčky mají různé délky
úhlopříčky jsou k sobě kolmé úhlopříčky nejsou k sobě kolmé úhlopříčky jsou k sobě kolmé úhlopříčky nejsou k sobě kolmé
úhlopříčky půlí vnitřní úhly úhlopříčky nepůlí vnitřní úhly úhlopříčky půlí vnitřní úhly úhlopříčky nepůlí vnitřní úhly

Obsah[editovat | editovat zdroj]

Obsah rovnoběžníku je roven: ,

kde a jsou délky přilehlých stran rovnoběžníku a je výška ke straně , obdobně je výška ke straně , je vnitřní úhel mezi přilehlými stranami.

V rovině[editovat | editovat zdroj]

Pokud jsou vrcholy zadány pomocí souřadnic v rovině, tj. , , atd., je obsah rovnoběžníku roven absolutní hodnotě determinantu sestaveného ze souřadnic libovolných tří vrcholů takto

Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol s počátkem souřadného systému, tj. , pak tedy

Zcela analogicky lze spočítat objem libovolného rovnoběžnostěnu, resp. nadobjem libovoného -rozměrného nadrovnoběžnostěnu (v -rozměrném prostoru).

V trojrozměrném prostoru[editovat | editovat zdroj]

Pokud jsou vrcholy zadány pomocí souřadnic v prostoru, tj. , , atd., a zavedeme-li stranové vektory

je obsah rovnoběžníku roven euklidovské normě (délce) vektoru , kde "" značí vektorový součin dvou vektorů. Tedy

kde "" značí skalární součin dvou vektorů.

Pokud mají směrové vektory nulové složky ve směru osy , tj.

pak

čímž dostaneme právě vztah pro výpočet obsahu rovnoběžníka v rovině.

Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol s počátkem souřadného systému, tj. , pak

v obecném případě, respektive

v případě, že směrové vektory mají navíc nulové složky ve směru osy .

Zobecněním vektorového součinu do -rozměrného prostoru (jedná se o součin lineárně nezávislých vektorů délky , jehož výsledkem je vektor kolmý na všechny předchozí, tvořící s nimi, v daném pořadí, pravotočivou bázi) lze zcela analogicky spočítat nadobsah libovolného -rozměrného nadrovnoběžníku v -rozměrném prostoru.

V n-rozměrném (reálném) prostoru[editovat | editovat zdroj]

Pokud je rovnoběžník dán dvěma stranovými vektory v obecném reálném -rozměrném prostoru

pak jeho obsah je dán vztahem

kde "", resp. "" značí skalární součin dvou vektorů.

Dosazením

opět dostáváme známý vztah pro obsah rovnoběžníku v rovině.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Matematika pro 7. ročník základní školy. [3], Shodnost. Středová souměrnost. Čtyřúhelníky, hranoly. 1. vyd. vyd. Praha: Prometheus, 1999. 87 s. s. Dostupné online. ISBN 80-7196-129-9, ISBN 978-80-7196-129-1. OCLC 41530899 

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, ISBN 80-85849-92-5, str. 97
  • Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 54-55

Související články[editovat | editovat zdroj]