Rovnoběžník

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Rovnoběžník

Rovnoběžník (latinsky parallelogrammum, někdy též r(h)omboid) je čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Rovnoběžník má 4 strany, 4 vrcholy, 4 úhly, jejichž součet je (360°). Z rovnoběžnosti protilehlých stran plyne, že velikost protilehlých stran je stejná, tzn.

Z toho plyne, že také velikost protilehlých úhlů má stejnou velikost, tzn.

Protože , platí

Obecně má rovnoběžník různou velikost přilehlých stran, tj. , a úhly různé od pravých úhlů, tj. . Pokud jsou přilehlé strany stejně velké, tj. , nazýváme takový rovnoběžník kosočtvercem. Pokud jsou úhly pravé, tj. , nazýváme takový rovnoběžník obdélníkem. Rovnoběžník, který je kosočtvercem a obdélníkem zároveň nazýváme čtvercem.

Úhlopříčky rovnoběžníku se vzájemně půlí. Délky úhlopříček jsou

Obsah[editovat | editovat zdroj]

Obsah rovnoběžníku je roven

,

kde a jsou délky přilehlých stran rovnoběžníku a je výška ke straně , obdobně je výška ke straně , je vnitřní úhel mezi přilehlými stranami.

V rovině[editovat | editovat zdroj]

Pokud jsou vrcholy zadány pomocí souřadnic v rovině, tj. , , atd., je obsah rovnoběžníku roven absolutní hodnotě determinantu sestaveného ze souřadnic libovolných tří vrcholů takto

Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol s počátkem souřadného systému, tj. , pak tedy

Zcela analogicky lze spočítat objem libovolného rovnoběžnostěnu, resp. nadobjem libovoného -rozměrného nadrovnoběžnostěnu (v -rozměrném prostoru).

V trojrozměrném prostoru[editovat | editovat zdroj]

Pokud jsou vrcholy zadány pomocí souřadnic v prostoru, tj. , , atd., a zavedeme-li stranové vektory

je obsah rovnoběžníku roven euklidovské normě (délce) vektoru , kde "" značí vektorový součin dvou vektorů. Tedy

kde "" značí skalární součin dvou vektorů.

Pokud mají směrové vektory nulové složky ve směru osy , tj.

pak

čímž dostaneme právě vztah pro výpočet obsahu rovnoběžníka v rovině.

Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol s počátkem souřadného systému, tj. , pak

v obecném případě, respektive

v případě, že směrové vektory mají navíc nulové složky ve směru osy .

Zobecněním vektorového součinu do -rozměrného prostoru (jedná se o součin lineárně nezávislých vektorů délky , jehož výsledkem je vektor kolmý na všechny předchozí, tvořící s nimy, v daném pořadí, pravotočivou bázi) lze zcela analogicky spočítat nadobsah libovoného -rozměrného nadrovnoběžníku v -rozměrném prostoru.

V n-rozměrném (reálném) prostoru[editovat | editovat zdroj]

Pokud je rovnoběžník dán dvěma stranovými vektory v obecném reálném -rozměrném prostoru

pak jeho obsah je dán vztahem

kde "", resp. "" značí skalární součin dvou vektorů.

Dosazením

opět dostáváme známý vztah pro obsah rovnoběžníku v rovině.

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, ISBN 80-85849-92-5, str. 97
  • Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 54-55

Související články[editovat | editovat zdroj]