Čtyřúhelník

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Čtyřúhelník (cizím slovem tetragon) je rovinný geometrický útvar, mnohoúhelník se čtyřmi vrcholy a čtyřmi stranami.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Lze jej definovat více způsoby. Zde jsou dvě definice čtyřúhelníku:

  • Definice1: Nechť A, B, C, D jsou čtyři body v téže rovině, z nichž žádné tři neleží v přímce. Čtyřúhelníkem ABCD rozumíme sjednocení trojúhelníků ABD a BDC právě tehdy, když průnikem těchto trojúhelníků je úsečka BD.
  • Definice2: Nechť A, B, C, D jsou čtyři body v téže rovině, z nichž žádné tři neleží v přímce. Čtyřúhelníkem ABCD nazýváme sjednocení jednoduché uzavřené lomené čáry se čtyřmi vrcholy A, B, C, D a její vnitřní oblasti.

Základní pojmy[editovat | editovat zdroj]

Čtyřúhelníky můžeme třídit z mnoha hledisek. Mezi nejzákladnější patří rozdělení na čtyřúhelníky konvexní a nekonvexní.

konvexní útvar U nazýváme konvexní právě tehdy, když pro každé

jeho dva body X, Y platí, že úsečka XY je podmnožinou útvaru U.

Convex quadrilateral.png
  konvexní 
nekonvexní útvar U nazýváme nekonvexní právě tehdy, když existují alespoň

dva body X, Y náležící útvaru U pro které platí,že úsečka XY není podmnožinou útvaru U.

Concave quadrilateral.png
  nekonvexní 
Obecný čtyřúhelník

Pro konvexní čtyřúhelník musí platit, že všechny jeho vnitřní úhly jsou větší než 0° a menší než 180°, zatímco nekonvexní čtyřúhelník má právě jeden úhel větší než 180° a menší než 360°.

Dále se budeme zabývat pouze konvexními čtyřúhelníky a slovo konvexní budeme vynechávat. Standardní označení stran a úhlů v konvexním čtyřúhelníku.

Čtyřúhelník lze definovat více způsoby. Uveďme alespoň dvě definice čtyřúhelníku.

  • Nechť A, B, C, D jsou čtyři body v téže rovině, z nichž žádné tři neleží v přímce. Čtyřúhelníkem ABCD rozumíme sjednocení trojúhelníků ABD a BDC právě tehdy, když průnikem těchto trojúhelníků je úsečka BD.
  • Nechť A, B, C, D jsou čtyři body v téže rovině, z nichž žádné tři neleží v přímce. Čtyřúhelníkem ABCD nazýváme sjednocení jednoduché uzavřené lomené čáry se čtyřmi vrcholy A, B, C, D a její vnitřní oblasti.

Úsečky AC, BD nazýváme úhlopříčky čtyřúhelníku ABCD.  Úhly ∠ABC, ∠BCD, ∠ADC, ∠BAD náleží vnitřní oblasti čtyřúhelníku, nazýváme je vnitřními úhly.

Dvojice úhlů ∠ABC, ∠BCD; ∠BCD, ∠ADC; ∠ADC, ∠BAD; ∠BAD, ∠ABC označujeme jako sousední úhly čtyřúhelníku ABCD a dvojice úhlů ∠ABC, ∠ADC a ∠BCD, ∠BAD jako protější úhly čtyřúhelníku ABCD.

Obvyklé značení pro délky stran je |AB| = a, |BC| = b, |CD| = c, |AD| = d; délky úhlopříček |AC| = e = , |BD|= f = a pro velikosti úhlů: |∠BAD| = α,

|∠ABC| = β,|∠BCD| = γ, |∠ADC| = δ.[1]

Klasifikace čtyřúhelníků[editovat | editovat zdroj]

Rozdělení čtyřúhelníků

Čtyřúhelníky lze rozdělit několika způsoby - například podle rovnoběžnosti stran

Rovnoběžník je čtyřúhelník, který má protější (nesousedící, nemající společný vrchol) strany rovnoběžné v každé z obou dvojic.

dělení podle velikosti úhlů
pravoúhlý čtverec, obdélník
kosoúhlý kosočtverec, kosodélník
dělení podle délky stran
rovnostranný čtverec, kosočtverec
různostranný obdélník, kosodélník

Lichoběžník je čtyřúhelník, který má protější (nesousedící, nemající společný vrchol) strany rovnoběžné pouze v jedné z obou dvojic; tyto strany se pak nazývají základny.

obecný každá strana má jinou délku
rovnoramenný nerovnoběžné strany jsou shodné
pravoúhlý jedno rameno je kolmé k základně

Různoběžník je čtyřúhelník, jehož žádné dvě strany nejsou rovnoběžné.

Další speciální případy čtyřúhelníků, které rozdělení podle rovnoběžnosti stran nepostihuje:

  • Tětivový čtyřúhelník je čtyřúhelník, jemuž lze opsat kružnici.
  • Tečnový čtyřúhelník je čtyřúhelník, jemuž lze vepsat kružnici.
  • Dvojstředový čtyřúhelník je čtyřúhelník, jemuž lze opsat i vepsat kružnici, je tedy současně tětivovým i tečnovým čtyřúhelníkem.
  • Deltoid ("drak") je čtyřúhelník, jehož úhlopříčky jsou na sebe kolmé, přičemž jedna z nich (hlavní úhlopříčka) půlí druhou (vedlejší úhlopříčku). Každý deltoid je současně tečnový čtyřúhelník.
Podrobnější popis a vlastnosti speciálních případů čtyřúhelníku, tedy rovnoběžníku, lichoběžníku, deltoidu, tětivového, tečnového a dvojstředového čtyřúhelníku naleznete v článcích Rovnoběžník, Lichoběžník, Deltoid, Tětivový čtyřúhelník, Tečnový čtyřúhelník a Dvojstředový čtyřúhelník.

Obvod a obsah[editovat | editovat zdroj]

Obvod čtyřúhelníku se rovná součtu délek všech stran. O = a + b + c + d.

Pro jeho obsah platí Bretschneiderův vzorec:

kde a, b, c, d jsou strany čtyřúhelníku, s je jeho poloviční obvod; α a γ úhly při protilehlých vrcholech (např. A a C).

Obsah je také možno vypočítat rozdělením čtyřúhelníku na dva trojúhelníky:

Ke konstrukci obecného čtyřúhelníku potřebujeme 5 prvků, z nichž aspoň 2 musí mít rozměr délky. Nejčastěji si jej vhodně rozdělíme (např. úhlopříčkou) na dva trojúhelníky a začne tím, ve kterém známe 3 prvky. K doplnění druhého trojúhelníku postačí 2 prvky, protože společnou stranu již známe.

Má-li čtyřúhelník nějaké zvláštní vlastnosti (symetrie), pak k jeho narýsování stačí méně prvků (u rovnoběžníku jen 3, u čtverce 1 prvek).

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. MRÁZOVÁ, Marta. Čtyřúhelníky [online]. Brno: 2008-12-05 [cit. 2021-01-18]. Dostupné online. 

Související články[editovat | editovat zdroj]


Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]