Čtyřúhelník

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Čtyřúhelník je rovinný geometrický útvar, mnohoúhelník se čtyřmi vrcholy a čtyřmi stranami.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Součet velikostí vnitřních úhlů čtyřúhelníka je roven 360° (2π), což vyplývá z toho, že jej lze úhlopříčkou rozdělit na dva trojúhelníky.

Obvod čtyřúhelníku o stranách a, b, c, d je roven

O = a + b + c + d = 2s,

kde s je poloviční obvod, vyskytující se v dalších vzorcích.

Obsah čtyřúhelníka je roven

S = \frac{1}{2}e f \sin\varphi,

kde e, f jsou délky úhlopříček a φ je (libovolný) úhel, který svírají.

Klasifikace čtyřúhelníků[editovat | editovat zdroj]

Klasifikace čtyřúhelníků.png

Čtyřúhelníky mohou být konvexní (vypuklé) anebo nekonvexní (konkávní, duté). Konvexní se dále dělí na

Pro některé čtyřúhelníky se používá zvláštní označení, např.:

Konvexní čtyřúhelník[editovat | editovat zdroj]

Konvexní čtyřúhelník má všechny vnitřní úhly konvexní.

Pro jeho obsah platí Bretschneiderův vzorec:

 S = \sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd  \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)},

kde a, b, c, d jsou strany čtyřúhelníka, s jeho poloviční obvod, α a γ úhly při protilehlých vrcholech (např. A a C).

Odtud plyne, že čtyřúhelník s danou posloupností stran má největší obsah, pokud je to tětivový čtyřúhelník.

Obsah je také možno vypočíst pomocí rozdělení na dva trojúhelníky:

S = (a*b*sin A)/2 + (d*c*sinC)/2

Ke konstrukci obecného čtyřúhelníku potřebujeme 5 prvků. Nejčastěji si jej vhodně rozdělíme (např. úhlopříčkou) na dva trojúhelníky a začne tím, ve kterém známe 3 prvky. K doplnění druhého trojúhelníku postačí 2 prvky, protože společnou stranu již známe.

Má-li čtyřúhelník nějaké zvláštní vlastnosti, pak k jeho narýsování stačí méně prvků (u rovnoběžníku jen 3, pro čtverac 1 prvek).

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]