Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník nazýváme tětivovým právě tehdy, když existuje jeho kružnice opsaná, která prochází všemi jeho vrcholy. Jeho strany jsou tedy jejími tětivami.

Úhly

Součet protějších vnitřních úhlů tětivového čtyřúhelníku je úhel přímý, což snadno vyplývá z věty o středovém a obvodovém úhlu.

Tětivový čtyřúhelník

Nechť |∠ABC| = β, |∠ADC| = δ a ABCD je tětivový čtyřúhelník. Libovolná jeho úhlopříčka, např. AC, dělí kružnici k na dva oblouky: na jednom z nich je vrchol B, na druhém vrchol D. Pro jim příslušné středové úhly, kde |∠ASC| = 2β, |∠ASB| = 2δ, platí 2β + 2δ = 360°. Pro příslušné obvodové úhly platí β + δ = 180°. Součet velikostí vnitřních úhlů u vrcholů B a D je 180°. Součet velikostí vnitřních úhlů u zbývajících vrcholů musí být tedy rovněž 180°. Jestliže platí β + δ = 180°, pak sestrojíme-li kružnici k opsanou trojúhelníku ABC, musí tato kružnice procházet i vrcholem D, neboť součet středových úhlů příslušných kružnicovým obloukům ABC, ADC je 2 ⋅ (β + δ) = 360°.

Příklady

Tětivové čtyřúhelníky jsou například pravoúhelníky – čtverec a obdélník, nebo rovnoramenný lichoběžník.

Ptolemaiova věta

Pro rozměry tětivového čtyřúhelníku platí Ptolemaiova věta: Součin (délek) úhlopříček ve čtyřúhelníku je roven součtu součinů (délek) jeho protějších stran:

$ef=ac+bd$

Důkaz se provádí např. pomocí podobnosti trojúhelníků.

Obsah

Pro obsah tětivového čtyřúhelníku platí Brahmaguptův vzorec:

$S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}},$

kde $s=(a+b+c+d)/2$ je jeho poloviční obvod.

Z něj lze dostat jako limitní případ, kdy se délka jedné ze stran rovná nule (např. d), Heronův vzorec pro obsah trojúhelníka,

$S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$.

Související články

• Čtyřúhelník
• Tečnový čtyřúhelník
• Dvojstředový čtyřúhelník
• Heronův vzorec

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu tětivový čtyřúhelník na Wikimedia Commons