Tětivový čtyřúhelník

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Čtyřúhelník ABCD nazýváme tětivovým čtyřúhelníkem právě tehdy, když existuje kružnice, která prochází body A, B, C, D. Jeho strany jsou tedy tětivami kružnice, čtyřúhelníku opsané.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Tětivový čtyřúhelník

Součet velikostí protějších vnitřních úhlů tětivového čtyřúhelníku je úhel přímý. Nechť |∠ABC| = β, |∠ADC| = δ a ABCD je tětivový čtyřúhelník. Libovolná jeho úhlopříčka, např. AC, dělí kružnici k na dva oblouky: na jednom z nich je vrchol B, na druhém vrchol D. Pro jim příslušné středové úhly, kde |∠ASC| = 2β, |∠ASB| = 2δ, platí 2β + 2δ = 360°. Pro příslušné obvodové úhly platí β + δ = 180°. Součet velikostí vnitřních úhlů u vrcholů B a D je 180°. Součet velikostí vnitřních úhlů u zbývajících vrcholů musí být tedy rovněž 180°. Jestliže platí β + δ = 180°, pak sestrojíme-li kružnici k opsanou trojúhelníku ABC, musí tato kružnice procházet i vrcholem D, neboť součet středových úhlů příslušných kružnicovým obloukům ABC, ADC je 2 ⋅ (β + δ) = 360°.[1]

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Tětivové čtyřúhelníky jsou například čtverec, obdélník a rovnoramenný lichoběžník.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Pro rozměry tětivového čtyřúhelníku platí Ptolemaiova věta: Součin (délek) úhlopříček ve čtyřúhelníku je roven součtu součinů (délek) jeho protějších stran.

Pro obsah tětivového čtyřúhelníku platí Brahmaguptův vzorec:

kde je jeho poloviční obvod.

Z něj lze dostat jako limitní případ, kdy se jedna ze stran rovná nule (např. d), Heronův vzorec pro obsah trojúhelníka,

.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. KUŘINA, František. Deset pohledů na geometrii. Praha: ALBRA: 1. vydání, 1996. 249 s. ISBN 80-85823-21-7. 

Související články[editovat | editovat zdroj]