Lichoběžník

Lichoběžník je konvexní čtyřúhelník, jehož dvě protější strany jsou rovnoběžné a zbývající dvě protější strany jsou obecně různoběžné.

Dělení

Lichoběžníky se metricky dělí na

rovnoramenné: ramena jsou shodná,
pravoúhlé: jedno rameno svírá se základnou pravý úhel a
obecné.

Vlastnosti

Rovnoběžné strany lichoběžníku se nazývají základny a různoběžné strany ramena lichoběžníku. Příčka lichoběžníku je úsečka s konci na ramenou rovnoběžná se základnami. Střední příčka lichoběžníku spojuje středy ramen.

Vzdálenost základen se nazývá výška lichoběžníku.

Úhlopříčky lichoběžníku se navzájem nepůlí a protínají se mezi střední příčkou a kratší základnou lichoběžníku. Průsečík úhlopříček je dělí v poměru délek základen. Úhlopříčky dělí lichoběžník na 4 trojúhelníky, z nichž ty dva při základnách jsou podobné a ty při ramenech mají stejný obsah.

Součet vnitřních úhlů při každém rameni lichoběžníku je úhel přímý, součet velikostí všech vnitřních úhlů je úhel plný.

Délka střední příčky lichoběžníku je rovna aritmetickém průměru velikostí základen (dle obrázku ${\frac {a+c}{2}}$ ). Příčka procházející průsečíkem úhlopříček lichoběžníka má délku rovnou harmonickému průměru délek základen a tento průsečík je jejím středem. Příčka dělící lichoběžník na dva se stejným obsahem má délku rovnou kvadratickému průměru délek základen.

Obsah lichoběžníku (z obrázku, rozdělením úhlopříčkou na dva trojúhelníky) je součin jeho střední příčky a výšky:

$S={\frac {(a+c)\cdot v}{2}}.$

Lichoběžník je určen čtyřmi prvky, z nichž aspoň dva musí mít rozměr, např. délkami jeho stran. Z nich lze určit i jeho výšku,

v={\frac {2}{|a-c|}}{\sqrt {s(s-|a-c|)(s-b)(s-d)}},

kde $s={\frac {|a-c|+b+d}{2}}.$

Vztah se odvodí pomocí Heronova vzorce po rozdělení na trojúhelník a rovnoběžník.

Pro úhlopříčky e, f lichoběžníka platí rovnost (odvoditelná pomocí Pythagórovy věty)

e^{2}+f^{2}=b^{2}+d^{2}+2ac.

Mají-li ramena stejnou velikost, tzn. $|AD|=|BC|$ , pak se jedná o rovnoramenný lichoběžník. Rovnoramenný lichoběžník je osově souměrný podle jediné přímky, spojnice středů základen, takže má shodná ramena, úhlopříčky i úhly při základnách. Proto je rovnoramenný lichoběžník tětivovým čtyřúhelníkem a platí pro něj Ptolemaiova věta (zde snadno plyne z výše uvedené rovnosti pro úhlopříčky):

e^{2}=ef=ac+bd=ac+b^{2}.

Rameno kolmé na základny pravoúhlého lichoběžníku je zároveň výškou pravoúhlého lichoběžníku.

Lichoběžník je definovaný pomocí rovnoběžnosti, takže je to afinní pojem. Afinita zobrazí lichoběžník opět na lichoběžník.

Literatura

Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, ISBN 80-85849-92-5, str. 97
Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 60-61

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu lichoběžník na Wikimedia Commons
Encyklopedické heslo Lichoběžník v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích
Slovníkové heslo lichoběžník ve Wikislovníku