Konvexní funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Graf funkce konvexní na intervalu konvexnosti leží pod spojnicí krajních bodů tohoto intervalu

Spojitá konvexní funkce na intervalu , je význačná tím, že její graf leží nad každou její sestrojenou tečnou. Jednoduchou a názornou pomůckou může být představa grafu konvexní funkce na jako šálku, do kterého lze nalít kávu. Opačný případ tvoří konkávní funkce. Samotná definice je analyticky odvozena z vlastností funkčních hodnot konvexní funkce vzhledem ke spojnici krajních bodů intervalu konvexnosti. Lze říci, že funkční hodnoty konvexní funkce jsou na intervalu konvexnosti vždy pod spojnicí zmíněných krajních bodů.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Konkávní část funkce je vyznačena modře. Graf na tomto intervalu leží pod tečnou. Zbylá červená křivka označuje konvexní část a její graf leží nad tečnou

Definici konvexnosti funkce lze rozdělit na definici konvexnosti funkce a speciálního případu - ryzí konvexnosti funkce. Většinu elementárních funkcí lze však považovat za ryze konkávní respektive ryze konvexní. Příkladem mohou být polynomy.

Definice ryze konvexní funkce[editovat | editovat zdroj]

Nechť f je funkce spojitá na intervalu . Pak říkáme, že funkce f je na intervalu ryze konvexní právě tehdy, když pro libovolné číslo s vlastností

Definice konvexní funkce[editovat | editovat zdroj]

Nechť f je funkce spojitá na intervalu . Pak říkáme, že funkce f je na intervalu konvexní právě tehdy, když pro libovolné číslo s vlastností

Intervaly konvexnosti[editovat | editovat zdroj]

Při hledání intervalů, na kterých je funkce konvexní se postupuje pomocí druhé derivace funkce. Intervaly konvexnosti a konkávnosti funkce dělí inflexní body. V těchto bodech funkce mění zakřivení. Funkce je proto ryze konvexní na intervalu, kde . Analogicky se odvodí pravidlo pro interval konvexní funkce . Daná derivace musí existovat. To, že funkce je diferencovatelná nevyplývá přímo z podmínky spojitosti zkoumané funkce, proto je třeba přidat podmínku diferencovatelnosti.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Konvexná funkcia na slovenské Wikipedii.

Související články[editovat | editovat zdroj]