Konvexní obal

Podobně jako je lineární obal definován pro lineární kombinace jisté množiny vektorů, lze ve vektorových prostorech definovat i obaly vektorů ve vztahu ke konvexním kombinacím.

Definice

Mějme $\scriptstyle V$$\scriptstyle V$ vektorový prostor nad tělesem $\scriptstyle T$$\scriptstyle T$ a $\scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$$\scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$ množinu vektorů z $\scriptstyle V$$\scriptstyle V$. Množinu všech konvexních kombinací této sady vektorů nazýváme konvexní obal vektorů $\scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$$\scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$ (angl. convex span, convex hull či convex envelope). Někdy se konvexní obal zmíněných vektorů značí jako $\scriptstyle [{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}]_{\kappa }$$\scriptstyle [{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}]_{\kappa }$. V matematické symbolice tedy

$[{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}]_{\kappa }\equiv \left\{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}{\Bigg |}(\forall i\in {\hat {n}})(\alpha _{i}\in T\wedge \alpha _{i}\geq 0)\wedge \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1\right\},$$[{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}]_{\kappa }\equiv \left\{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}{\Bigg |}(\forall i\in {\hat {n}})(\alpha _{i}\in T\wedge \alpha _{i}\geq 0)\wedge \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1\right\},$

kde $\scriptstyle {\hat {n}}\equiv \{1,\ldots ,n\}$$\scriptstyle {\hat {n}}\equiv \{1,\ldots ,n\}$.

Vlastnosti

Mějme vektorový prostor $\scriptstyle V$$\scriptstyle V$ nad tělesem $\scriptstyle T$$\scriptstyle T$. Pro konvexní obaly vektorů z $\scriptstyle V$$\scriptstyle V$ lze odvodit mimo jiné následující vlastnosti ($\scriptstyle {\hat {n}}\equiv \{1,\ldots ,n\}$$\scriptstyle {\hat {n}}\equiv \{1,\ldots ,n\}$).

• Konvexní obal daných vektorů obsahuje i tyto vektory samotné. Neboli

$(\forall n\in \mathbb {N} )(\forall i\in {\hat {n}})({\vec {x}}_{i}\in [{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}]_{\kappa })$$(\forall n\in \mathbb {N} )(\forall i\in {\hat {n}})({\vec {x}}_{i}\in [{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}]_{\kappa })$

Důkaz: Doplnit...

• Konvexní obal je skutečně konvexní množina.

Důkaz: Doplnit...

• Konvexní obal daných vektorů je nejmenší konvexní podmnožina vektorového prostoru obsahující tyto vektory, tj.

$[{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}]_{\kappa }=\bigcap _{K\ {\text{je konvexní}},\ K\subset V,\ \{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}\subset K}K$$[{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}]_{\kappa }=\bigcap _{K\ {\text{je konvexní}},\ K\subset V,\ \{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}\subset K}K$

Důkaz: Doplnit...

Související články

• lineární obal
• afinní obal