Afinní obal

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Podobně jako je lineární obal definován pro lineární kombinace jisté množiny vektorů, lze ve vektorových prostorech definovat i obaly vektorů ve vztahu k afinním kombinacím.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Mějme vektorový prostor a sadu vektorů z . Množinu všech afinních kombinací této sady vektorů nazýváme afinní obal vektorů (angl. affine span či affine hull). Někdy se afinní obal zmíněných vektorů značí jako či . V matematické symbolice tedy

kde

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Některá tvrzení platná pro lineární obaly a podprostory vektorového prostoru jsou v platnosti i pro afinní obaly, zaměníme-li vektorový podprostor lineární varietou. V následujícím se budeme pohybovat ve vektorovém prostoru nad tělesem .

Afinní obal jako lineární varieta[editovat | editovat zdroj]

Důkaz: Doplnit...
  • Afinní obal vektorů je nejmenší (ve smyslu inkluze) lineární varieta ve vektorového prostoru , která obsahuje . Neboli, afinní obal vektorů je roven průniku všech lineárních variet vektorového prostoru , které obsahují tyto vektory. Matematicky zapsáno
Důkaz: Doplnit...

Ostatní[editovat | editovat zdroj]

  • Afinní kombinace vektorů obsahuje všechny tyto vektory, neboli
Důkaz: Zřejmý, pro dané položíme v sumě koeficient a všechny ostatní nulové.

Geometrická interpretace[editovat | editovat zdroj]

Podobně jako lineární obaly, i afinní obaly mají názornou geometrickou interpretaci. Přinejmenším uvažujeme-li vektorové prostory aritmetických vektorů, tj. uspořádaných n-tic reálných (potažmo komplexních) čísel. Pro jednoduchost vezměme trojrozměrný prostor nad reálným tělesem. Jeho prvky jsou tedy uspořádané trojice reálných čísel s operacemi definovanými následujícím způsobem

Prvky tohoto prostoru si tedy lze představovat ve "fyzikálním smyslu", tj. jako šipky vedoucí z počátku soustavy souřadnic. Sčítání vektorů ve smyslu vyznačeném výše odpovídá skládání šipek. Budeme-li brát po řadě jedno-, dvou- a tříprvkové množiny vektorů, jejich afinní obaly lze interpretovat takto:

  • Afinní obal jediného vektoru je pouze tento vektor sám. Pro porovnání, lineární obal jednoho vektoru je roven vektoru samotnému jenom v jediném případě a to když je tento vektor nulový.
  • Máme-li dva (navzájem různé) vektory a z , tak jejich obecná afinní kombinace vypadá jako

kde . Vektory a jsou představovány dvěma body a na jejich afinní kombinaci můžeme nazírat jako na přímku procházející těmito dvěma body. Afinní obal dvou vektorů v je tedy přímka procházející těmito vektory. Rozdíl oproti lineárnímu obalu je v tom, že zatímco lineární obal jednoho nenulového vektoru je přímka procházejí počátkem a tímto vektorem, afinní obal jednoho vektoru je pouze tento vektor sám. Abychom dostali přímku, potřebujeme u afinních obalů vektory dva, oproti lineárnímu obalu ale tato přímka již nemusí procházet počátkem.

  • Afinní obal tří (lineárně nezávislých) vektorů je rovina procházející těmito třemi vektory alias body. Pro lineární obal tří lineárně nezávislých vektorů bychom dostali celý prostor .

Z předchozí diskuze je tedy patrné, že geometrický objekt coby afinní obal daného počtu vektorů má o jednu dimenzi méně, než geometrický objekt vzniklý z těchže vektorů pomocí lineárního obalu.

Související pojmy[editovat | editovat zdroj]

Mějme množinu vektorů z vektorového prostoru . V oddíle Geometrická interpretace jsme viděli, že na afinní obaly vektorů lze nazírat jako na geometrické objekty o dané dimenzi, která je o jedničku nižší než odpovídající geometrický objekt vzniklý z týchž vektorů pomocí lineárního obalu. Dimenzi afinního obalu zmíněných vektorů říkáme afinní hodnost souboru .

Podobně jako v případě lineárních kombinací, kdy lze definovat lineární nezávislost, můžeme i v případě afinních kombinací definovat afinní (ne)závislost. Řekneme, že soubor je afinně nezávislý, právě když je jeho afinní hodnost rovna číslu Pokud je jeho afinní hodnost ostře menší než , tak říkáme, že je afinně závislý. Označíme-li afinní hodnost souboru vektorů jako , pak můžeme psát, že soubor vektorů je afinně nezávislý, právě když

a afinně závislý, právě když

Z definice je ihned patrné, že množina obsahující pouze jediný vektor je vždy afinně nezávislá.

Protože se častěji pracuje s lineární nezávislostí, je užitečné najít vztah této a afinní nezávislosti. K tomu se hodí následující tvrzení: Mějme soubor vektorů z vektorového prostoru pro . Dále nechť je libovolně, ale pevně, zvolený index. Pak platí

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • PYTLÍČEK, Jiří. Lineární algebra a geometrie. Praha: Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2008. ISBN 978-80-01-04063-8.  – skripta FJFI ČVUT

Související články[editovat | editovat zdroj]