Kvádr

Kvádr
Objem
Povrch
Obrazec stěny	obdélník
Počet vrcholů	8
Počet hran	12
Počet stěn	6
Úhel u vrcholu	90°
Poloměr opsané kulové plochy	-
Poloměr vepsané kulové plochy	-
Duální mnohostěn	-

Kvádr je trojrozměrné těleso – rovnoběžnostěn, jehož stěny tvoří šest pravoúhlých čtyřúhelníků (zpravidla obdélníků, ale existují i speciální případy jako např. čtverec). Má tři skupiny rovnoběžných hran shodné délky.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Výpočty[editovat | editovat zdroj]

Objem $V\,\!$ a povrch $S\,\!$ kvádru lze vypočítat z délky jeho hran $a,b,c\,\!$ jako:

$V=abc\,\!$
$S=2(ab+bc+ac)\,\!$

Kvádr má tři různé délky stěnových úhlopříček, které jsou vlastně délkou úhlopříčky obdélníka ve vztahu k jeho stranám, a počítají se z Pythagorovy věty:

$u_{a}={\sqrt {b^{2}+c^{2}}}\,\!$
$u_{b}={\sqrt {a^{2}+c^{2}}}\,\!$
$u_{c}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,\!$

Všechny čtyři tělesové úhlopříčky jsou stejně dlouhé a protínají se ve středu souměrnosti. Délku tělesové úhlopříčky kvádru (tj. vzdálenost dvou vrcholů, které neleží ve stejné stěně) lze vypočítat rovněž z Pythagorovy věty:

$u={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\,\!$

Kvádr má šest stěn obdélníkového tvaru (ve speciálních případech 2 čtvercové + 4 obdélníkové nebo 6 čtvercových) z nichž dvě protilehlé jsou vždy shodné, osm vrcholů a dvanáct hran z nichž čtveřice rovnoběžných má vždy shodnou délku.

Souměrnost[editovat | editovat zdroj]

Kvádr je středově souměrný podle průsečíku svých úhlopříček.

Kvádr je osově souměrný podle tří os – spojnic středů protilehlých stěn.

Kvádr je rovinově souměrný podle tří rovin. Každá z těchto rovin je rovnoběžná s některou ze stěn kvádru a prochází průsečíkem úhlopříček kvádru.

Další vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Každé dvě stěny kvádru jsou rovnoběžné nebo kolmé.

Speciální případy[editovat | editovat zdroj]

Pravidelný čtyřboký hranol[editovat | editovat zdroj]

Speciálním případem kvádru pro $a=b\,\!$ je pravidelný čtyřboký hranol. Ten má nejméně jednu dvojici protilehlých stěn čtvercovou – mluvíme o ní jako o základně nebo podstavě. O zbývajícím (potenciálně různém) rozměru pak mluvíme jako o výšce hranolu $v=c\,\!$ .