Křivkový integrál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Animace demonstrující význam křivkového integrálu skalárního pole

V matematice je křivkový integrál integrál skalárního nebo vektorového pole počítaný podél křivky. Je mnoho druhů křivkových integrálů, mezi nejdůležitější patří integrály prvního a druhého druhu a integrály v komplexní proměnné.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Mějme orientovanou křivku , která je definována rovnicemi pro . Na této křivce k nechť je definována funkce .

Křivku k rozdělíme na oblouků v bodech s parametry . Na každém oblouku zvolíme bod o souřadnicích a sestrojíme součty

kde je délka oblouku .


Největší z délek při daném dělení nazveme normou dělení , tzn. .


Pokud existuje takové číslo , resp. , resp. , že k libovolnému lze najít takové , že , resp. , resp. pro každé dělení , pro které bez ohledu na volbu bodů na , pak říkáme, že existuje křivkový integrál funkce po křivce k vzhledem k x, resp. k y, resp. k s, což zapisujeme vztahy

Integrál označujeme jako křivkový integrál prvního druhu, integrály jako křivkové integrály druhého druhu.


Je-li funkce spojitá na křivce k, pak uvedené integrály existují.


Za integrál druhého druhu považujeme také integrál


Je-li křivka k uzavřená, pak k označení křivkového integrálu po této křivce užíváme integrační znak .

Demonstrace významu křivkových integrálů

Význam křivkových integrálů je demonstrován na obrázku. Obsah plochy, která je nad křivkou k ohraničena funkcí , je určen křivkovým integrálem prvního druhu, tedy integrálem . Obsah (orientovaného) průmětu této plochy do roviny , resp. , je určen integrálem , resp. .


Zobecnění křivkových integrálů na prostorové křivky je přímočaré. Je-li na oblasti definována spojitá funkce a křivka k zadaná parametricky vztahy pro , pak křivkový integrál prvého druhu zapíšeme

Křivkové integrály druhého druhu pak mají tvar


Vlastnosti křivkových integrálů[editovat | editovat zdroj]

Je-li k orientovaná křivka, kterou lze rozložit na dvě souhlasně orientované křivky , pak pro křivkové integrály druhého druhu platí

a podobně pro křivkové integrály prvního druhu

Jsou-li na křivce k definovány funkce , pak pro libovolné konstanty


Označme jako křivku, která má opačnou orientaci než křivka . Při změně orientace křivky změní integrály druhého druhu své znaménko, tzn.

Integrály prvního druhu při změně orientace znaménko nemění, tzn.

Komplexní analýza[editovat | editovat zdroj]

V komplexní analýze se operuje s křivkovými integrály. Křivkový integrál z holomorfní funkce f(z) po C1 křivce γ(t) , kde t je její parametr probíhající interval <a,b>

kde integrujeme zvlášť reálnou a imaginární část. Jde-li o uzavřenou křivku, potom se používá značení

Komplexní křivkové integrály lze zpravidla snadno počítat pomocí Cauchyovy věty, reziduové věty, nebo pomocí Cauchyova vzorce. Pokud integrační křivka splývá na některém svém úseku s reálnou osou, lze v určitých případech pomocí komplexních integrálů počítat integrály reálné.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Mějme funkci f(z)=1/z a křivku C definovanou jako jednotkovou kladně orientovanou kružnici kolem bodu 0, která je parametrizována jako eit, kde parametr t probíhá <0, 2π>. Substitucí

což lze rovněž ověřit Cauchyovým vzorcem.

Vektorový počet[editovat | editovat zdroj]

Ve vektorovém počtu hrají důležitou roli především integrály prvního druhu (tedy integrály ze skalárního pole podél křivky) a integrály druhého druhu (integrály z vektorového pole podél křivky).

Integrál prvního druhu[editovat | editovat zdroj]

Nechť f je skalární pole RnR spojité po částech C1 podél křivky γ parametrizované zobrazením r(t) <a,b>→Rn, pro které je r'(t) nenulové pro každé t. Potom křivkový integrál prvního druhu

Výsledná hodnota integrálu nezávisí na parametrizaci (integrujeme podle elementu délky křivky), jen na křivce, podél které integrujeme. Integrál skalárního pole po křivce vzniklé napojením dvou křivek v jednom bodě je součtem jednotlivých integrálů podél napojených křivek. Hodnota integrálu nezávisí na směru integrace.

Integrál druhého druhu[editovat | editovat zdroj]

Nechť A je vektorové pole RnRn spojité po částech C1 podél křivky γ parametrizované zobrazením r(t) <a,b>→Rn, pro které je r'(t) nenulové pro každé t. Potom křivkový integrál druhého druhu

Výsledná hodnota integrálu nezávisí na parametrizaci (integrujeme podle elementu délky křivky), jen na křivce, podél které integrujeme. Integrál vektorového pole po křivce vzniklé napojením dvou stejně orientovaných křivek v jednom bodě je součtem jednotlivých integrálů podél napojených křivek. Hodnota integrálu při změně směru integrace mění znaménko.

Užití[editovat | editovat zdroj]

Křivkové integrály mají široké využití ve fyzice, jako příklad můžeme uvést výpočet vykonané práce podél křivky – ta je rovna křivkovému integrálu (druhého druhu) vektoru síly pole dráhy.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

  • Kniha Integrování/Výpočet reálných integrálů pomocí reziduové věty ve Wikiknihách
  • STRMISKA, Martin. Aplikace křivkového integrálu. Zlín: Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, 2015, 75s. Dostupné také z: http://hdl.handle.net/10563/34231. Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně. Fakulta aplikované informatiky, Ústav automatizace a řídicí techniky.