Maxwellovy rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Maxwellovy rovnice jsou základní zákony v makroskopické teorii elektromagnetického pole, které zformuloval James Clerk Maxwell v roce 1865. Lze je zapsat buď v integrálním nebo diferenciálním tvaru. V integrálním tvaru popisují elektromagnetické pole v jisté oblasti, kdežto v diferenciálním tvaru v určitém bodu této oblasti.

Formulace Maxwellových rovnic[editovat | editovat zdroj]

Níže uvedený zápis je platný v jednotkách soustavy SI. Zápis v jiných soustavách se od tohoto zápisu liší vynásobením některých členů konstantami, jako např. rychlostí světla c a 4 \pi (Ludolfovo číslo) v soustavě CGS.

První Maxwellova rovnice (zákon celkového proudu, zobecněný Ampérův zákon)[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Ampérův zákon.

integrální tvar

\oint_{c} \mathbf{H}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{l}=I+\frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}t}

\Psi \equiv \int_{S} \mathbf{D}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S}

I = \int_{S} \mathbf{j}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S}.

Cirkulace vektoru intenzity magnetického pole H po libovolně orientované uzavřené křivce c je rovna součtu celkového vodivého proudu I a posuvného proudu \frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}t} (\Psi je tok elektrického pole plochou S), spřažený křivkou c. Křivka c a libovolná plocha S, jež křivku obepíná, jsou vzájemně orientovány pravotočivě.

Diferenciální tvar

\nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}.

Rotace vektoru intenzity magnetického pole H je rovna hustotě vodivého proudu j a hustotě posuvného (Maxwellova) proudu  \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}.

Druhá Maxwellova rovnice (Zákon elektromagnetické indukce, Faradayův indukční zákon)[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Zákon elektromagnetické indukce.

integrální tvar

\oint_{c} \mathbf{E} \cdot\, \mathrm{d}\mathbf{l}=- \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t},
\Phi \equiv \int_{S} \mathbf{B} \cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S}.

Cirkulace vektoru E po libovolně orientované uzavřené křivce c je rovna záporně vzaté časové derivaci magnetického indukčního toku spřaženého křivkou c. Křivka c a libovolná plocha S, jíž křivka obepíná, jsou vzájemně orientovány pravotočivě.

diferenciální tvar

\nabla \times \mathbf{E}=- \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.

Rotace vektoru intenzity elektrického pole E je rovna záporně vzaté derivaci magnetické indukce B.

Třetí Maxwellova rovnice (Gaussův zákon elektrostatiky)[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Gaussův zákon elektrostatiky.

integrální tvar

\oint_{S} \mathbf{D}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S}=Q,
Q= \int_{V} \rho \, \mathrm{d}V.

Elektrický indukční tok libovolnou vně orientovanou plochou S je roven celkovému volnému náboji v prostorové oblasti V ohraničené plochou S.

diferenciální tvar

\nabla \cdot \mathbf{D}= \rho.

Divergence vektoru elektrické indukce D je rovna objemové hustotě volného náboje ρ. Ekvivalentní formulace: siločáry elektrické indukce začínají nebo končí tam, kde je přítomen elektrický náboj.

Čtvrtá Maxwellova rovnice (Zákon spojitosti indukčního toku)[editovat | editovat zdroj]

integrální tvar

\oint_{S} \mathbf{B}\cdot \, \mathrm{d}\mathbf{S}=0.

Magnetický indukční tok libovolnou uzavřenou orientovanou plochou S je roven nule.

diferenciální tvar

\nabla \cdot \mathbf{B}=0.

Divergence vektoru magnetické indukce \mathbf{B} je rovna nule.

Ekvivalentní formulace: Neexistují magnetické monopóly.[1] (hypotetická elementární částice která nese magnetický náboj)


Fyzikální proměnné použité v Maxwellových rovnicích shrnuje následující tabulka

Označení Význam Jednotka SI
\mathbf{E} intenzita elektrického pole V/m
\mathbf{H} intenzita magnetického pole A/m
\mathbf{D} elektrická indukce C/m²
\mathbf{B} magnetická indukce T = kg/s/C
\ \rho \ hustota volného náboje C/m³
\mathbf{j} hustota elektrického proudu A/m²

Materiálové vztahy pro materiály s lineární závislostí[editovat | editovat zdroj]

Pro širokou třídu materiálů lze předpokládat, že hustota polarizace P (C/m2) a hustota magnetizace M (A/m) jsou vyjádřeny jako:

 \mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}
 \mathbf{M} = \chi_m \mathbf{H}


a že pole D a B jsou s E a H provázány vztahy:

\mathbf{D} \ \ = \ \ \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} \ \ = \ \ (1 + \chi_e) \varepsilon_0 \mathbf{E} \ \ 
= \ \ \varepsilon \mathbf{E}
\mathbf{B} \ \ = \ \ \mu_0 ( \mathbf{H} + \mathbf{M} ) \ \ = \ \ (1 + \chi_m) \mu_0 \mathbf{H} \ \ 
= \ \ \mu \mathbf{H},


kde:

 \chi_e je elektrická susceptibilita materiálu,

 \chi_m je magnetická susceptibilita materiálu,

ε je elektrická permitivita materiálu a

μ je magnetická permeabilita materiálu


V nedisperzním izotropním médiu jsou ε a μ skaláry nezávislé na čase, takže Maxwellovy rovnice přejdou na tvar:

\nabla \cdot \varepsilon \mathbf{E} = \rho
\nabla \cdot \mu \mathbf{H} = 0
\nabla \times \mathbf{E} = - \mu \frac{\partial \mathbf{H}} {\partial t}
\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{j} + \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}

V homogenním médiu jsou ε a μ konstanty nezávislé na poloze a lze tedy jejich polohu zaměnit s parciálními derivacemi podle souřadnic.

Obecně mohou být ε a μ tenzory druhého řádu, které potom odpovídají popisu dvojlomných (anizotropních) materiálů. Nehledě na tato přiblížení však každý reálný materiál vykazuje jistou materiálovou disperzi, díky níž ε nebo μ závisí na frekvenci.

Pro většinu typů vodičů platí mezi proudem a elektrickou intenzitou Ohmův zákon ve tvaru

\mathbf{j} = \sigma \mathbf{E},

kde σ je měrná vodivost daného materiálu.

Maxwellovy rovnice jako vlnové rovnice potenciálů[editovat | editovat zdroj]

Logo Wikimedia Commons
Wikimedia Commons nabízí galerii k tématu
Logo Wikimedia Commons
Wikimedia Commons nabízí galerii k tématu

Ekvivalentně (a mnohdy s výhodou) lze vyjádřit Maxwellovy rovnice pomocí skalárního a vektorového potenciálu \varphi a \mathbf A, které jsou definovány tak, aby platilo

\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}\,,
\mathbf{E} = -\nabla\varphi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\,.

\mathbf E a \mathbf B se přitom nezmění, pokud k potenciálu \varphi přičteme libovolnou konstantu, nebo k \mathbf A gradient libovolného skalárního pole. Proto pro jednoduchost výsledných rovnic můžeme navíc zvolit tzv. Lorenzovu kalibrační podmínku

\nabla\cdot\mathbf{A}+\varepsilon\mu\frac{\part \varphi}{\partial t}=0\,.

Maxwellovy rovnice potom mají tvar vlnových rovnic

\square \varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon}\,,
\square \mathbf{A} = -\mu\,\mathbf{j}\,,

kde \square je d'Alembertův operátor.

Ve speciální teorii relativity tvoří elektrický a magnetický potenciál dohromady čtyřvektor zvaný čtyřpotenciál A^\nu. Také d'Alembertův operátor lze zobecnit na čtyřvektory. V tomto formalismu (a s předpokladem Lorenzovy podmínky) lze pak všechny Maxwellovy rovnice napsat jako jedinou nehomogenní vlnovou rovnici

\square A^\nu=-{\mu J^\nu}\,.

kde J^\nu je elektrický čtyřproud a \mu je permeabilita. Ve vakuu je navíc čtyřproud nulový, takže rovnice se stane homogenní a její řešení odpovídá šíření elektromagnetických vln.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Bedřich Sedlák, Ivan Štoll: Elektřina a magnetismus, Academia, 2002, ISBN 80-200-1004-1, text ke vztahům (3.72) a (3.73)

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]