Plošný integrál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Plošný integrál je zobecněním dvojného integrálu, ale zde integrujeme funkci na obecné zakřivené ploše v euklidovském prostoru libovolné dimenze (aspoň 2). Plošný integrál má velké využití v geometrii (např. výpočet povrchu) a fyzice (např. výpočet toků).

Pro výpočet integrálu je vhodné mít plochu vyjádřenou parametricky, tedy pomocí dvou parametrů:

,

kde se jedná o hladké zobrazení z otevřené měřitelné množiny (v rovině) do daného prostoru. Hladkost (spojitost příslušných derivací) zaručuje existenci tečné roviny plochy v každém (nesingulárním) bodě.

Podobně jako u křivkového integrálu rozeznáváme i zde dva druhy.

Plošný integrál prvního druhu[editovat | editovat zdroj]

Máme-li spočítat plošný integrál I. druhu přes plochu A ze skalární funkce f (spojité na ploše)

,

nejprve vypočteme tečné vektory parametrických křivek a , ze kterých už snadno dostaneme diferenciální formu obsahu elementu plochy (jedná se o obsah elementárního rovnoběžníka):

Intuitivně dosadíme za a převedeme výpočet na dvojný integrál přes část roviny.

Integrál nezávisí na tom, kterou ekvivalentní parametrizaci dané plochy si zvolíme, jen na hodnotách funkce na ploše a ploše samotné.

Plošný integrál druhu jedničky je roven obsahu plochy:

Fyzikální význam je hodnota skalární veličiny (např. hmotnosti) z její zadané plošné hustoty na dané ploše.

Plošný integrál druhého druhu[editovat | editovat zdroj]

Plošný integrál II. druhu (vektorové funkce neboli vektorového pole) vyjadřuje fyzikálně skalární tok daného vektorového pole danou plochou (např. průtok kapaliny plochou průřezu trubice). Je definován (značení jako u integrálu 1. druhu, zde navíc tečka značí skalární součin) jako

.

Lze ho převést na integrál I. druhu tak, že ho počítáme jako integrál I. druhu z normálové složky vektorového pole (skalárního součinu pole s jednotkovým vektorem normály plochy):

Hodnota integrálu II. druhu závisí na parametrizaci plochy jen znaménkem - závisí na její orientaci. Uzavřené plochy (např. kulová) se většinou orientují směrem ven, ve směru vnější normály.

Je pozoruhodné a nikoli evidentní, že plošný integrál II. druhu lze převést na integrál objemový přes vnitřek u uzavřené plochy (pomocí Gaussovy věty) anebo na křivkový integrál II. druhu přes její okraj (cirkulaci) u otevřené plochy (Stokesova věta).

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]