Greenova věta

V matematice je Greenova věta vztah mezi křivkovým integrálem druhého druhu po uzavřené rovinné křivce a dvojným integrálem přes oblast ohraničenou touto křivkou. Jejím autorem je britský matematik George Green. Věta je v podstatě dvourozměrnou variantou Stokesovy věty.

Znění věty

Buď c kladně orientovaná po částech hladká jednoduchá uzavřená křivka v rovině a D jednoduše souvislá oblast ohraničená křivkou c. Jsou-li L a M funkce proměnných (x, y) definované v nějaké otevřené množině obsahující množinu D a mají-li tyto funkce spojité parciální derivace prvního řádu, pak platí

$\oint _{c}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy.$

Výpočet obsahu

Greenovu větu je možno využít ke zjišťování obsahu množiny v rovině.

Vskutku, zvolme L a M tak, že platí

${\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1.$

Potom je obsah množiny D dán vztahem

$A=\oint _{C}(L\,dx+M\,dy).$

Možná vyjádření obsahu množiny D pomocí křivkového integrálu po její hranici C zahrnují například:

$A=\oint _{C}x\,dy=-\oint _{C}y\,dx={\tfrac {1}{2}}\oint _{C}(-y\,dx+x\,dy).$

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Green's theorem na anglické Wikipedii.

Související odkazy

• Planimetr

Portály: Matematika

Autoritní data: PSH: 7490