Zobecněná Stokesova věta

Zobecněná Stokesova věta je v diferenciální geometrii tvrzení o integraci diferenciálních forem, které zobecňuje a zahrnuje několik vět. Je pojmenovaná po Georgi Gabrielu Stokesovi, ačkoliv poprvé tuto větu pravděpodobně zformuloval William Thomson.

Znění věty

Buď $M$ varieta dimenze $k$ v prostoru dimenze $n$ s okrajem $\partial M$ s kladnou orientací a buď $\omega$ diferenciální forma na $M$ rozměru $k-1$, pak platí:

$\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega$,

kde $d$ je vnější derivace diferenciální formy, pak:

• pro n=1, k=1 přechází na druhou základní větu integrálního počtu,
• pro n=2, k=2 přechází na Greenovu větu,
• pro n=3, k=1 přechází na větu o potenciálu křivkového integrálu 2. druhu,
• pro n=3, k=2 přechází na Stokesovu větu,
• pro n=3, k=3 přechází na Gaussovu větu.

Odvození Gaussovy věty

Uvažuje se Gaussova věta ve trojrozměrném euklidovském prostoru. Množinou M tedy budeme v tomto případě rozumět daný objem a ∂M plochu, která jej uzavírá. Vyjdeme z toho, že máme po ploše ∂M integrovat tok vektorového pole:

$\oint _{\partial M}\mathbf {A} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{\partial M}A_{x}(x,y,z)\,\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+A_{y}(x,y,z)\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+A_{z}(x,y,z)\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y=$

Forma dS má v kartézských složkách poměrně jednoduchý tvar (dy^dz,dz^dx,dx^dy) - je snadné zjistit, že první složka této formy musí být element plochy, ke kterému je vektor (1,0,0) kolmý. $\wedge$ je vnější součin forem. Pořadí forem dy,dz určujících plochu je libovolné. Zbylé souřadnice se určí cyklickou záměnou, aby nedošlo ke změně orientace diferenciální formy (pokud by za plošku kolmou k (1,0,0) byla zvolena naopak dz^dy, pak pokud ostatní složky budou určeny cyklickou záměnou, výsledek bude stejný). Nyní zderivujme integrovanou formu, v jejích členech jsou vždy derivace podle dvou souřadnic nulové, takže zbývá vždy jedna:

$=\int _{M}\mathrm {d} \left(A_{x}(x,y,z)\,\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+A_{y}(x,y,z)\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+A_{z}(x,y,z)\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\right)=$

$=\int _{M}{\frac {\partial A_{x}(x,y,z)}{\partial x}}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+{\frac {\partial A_{y}(x,y,z)}{\partial y}}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+{\frac {\partial A_{z}(x,y,z)}{\partial z}}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z=$

$=\int _{M}\left({\frac {\partial A_{x}(x,y,z)}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}(x,y,z)}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}(x,y,z)}{\partial z}}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z=$

Jakmile jsou souřadnicové formy ve správném pořadí, tak lze převést integrál formy na běžný integrál přes objem:

$=\int _{M}\left({\nabla \cdot \mathbf {A} }\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=\int _{V}({\nabla \cdot \mathbf {A} })\,\mathrm {d} V$,

je tedy vidět, že nám vyšla právě Gaussova věta.

Odvození Stokesovy věty

Uvažuje se Stokesova věta ve trojrozměrném euklidovském prostoru. Množinou Σ tedy budeme v tomto případě rozumět danou plochu a ∂Σ křivku, která ji uzavírá, obdobným postupem jako u odvození Gaussovy věty tedy dostaneme:

$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {A} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\tau }}=\oint _{\partial \Sigma }A_{x}(x,y,z)\mathrm {d} x+A_{y}(x,y,z)\mathrm {d} y+A_{z}(x,y,z)\mathrm {d} z=$

$=\int _{\Sigma }\mathrm {d} \left(A_{x}(x,y,z)\mathrm {d} x+A_{y}(x,y,z)\mathrm {d} y+A_{z}(x,y,z)\mathrm {d} z\right)=$

Provede se vnější derivace na jednotlivých formách:

$=\int _{\Sigma }\left({\frac {\partial A_{x}(x,y,z)}{\partial y}}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+{\frac {\partial A_{x}(x,y,z)}{\partial z}}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z+{\frac {\partial A_{y}(x,y,z)}{\partial x}}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} x+\right.$$\left.+{\frac {\partial A_{y}(x,y,z)}{\partial z}}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+{\frac {\partial A_{z}(x,y,z)}{\partial x}}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+{\frac {\partial A_{z}(x,y,z)}{\partial y}}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} y\right)=$

Protože vnější součin je na 1-formách antisymetrický, posbírá se integrál podle jednotlivých 2-forem:

$=\int _{\Sigma }\left({\frac {\partial A_{x}(x,y,z)}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}(x,y,z)}{\partial x}}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+$$+\left({\frac {\partial A_{y}(x,y,z)}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}(x,y,z)}{\partial y}}\right)\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+\left({\frac {\partial A_{x}(x,y,z)}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}(x,y,z)}{\partial x}}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z=$

Jsou-li jednotlivé formy ve správném pořadí podle indexů, dostáváme Stokesovu větu:

$=\int _{S}\left({\nabla \times \mathbf {A} }\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Generalized Stokes theorem na anglické Wikipedii.

Související články

• Křivkový integrál
• Plošný integrál
• Stokesova věta
• Greenova věta
• Gaussova věta

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu zobecněná Stokesova věta na Wikimedia Commons

Portály: Matematika