Gaussova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Gaussova věta, nebo též Gaussova-Ostrogradského věta či Věta o divergenci je věta matematické analýzy, která uvádí v souvislost tok vektorového pole A(r) uzavřenou jednoduše souvislou hladkou plochou Σ s integrálem přes objem V touto plochou uzavřený z divergence daného vektorového pole.

,

kde je divergence vektorového pole A(r), ∇ je operátor nabla a plocha Σ = ∂V je hranice kompaktní množiny V, která je orientována vektorem vnější normály, tzn. a n je vektor vnější normály plochy, a je regulární a otevřená.

Z fyzikálního hlediska vyjadřuje Gaussova věta skutečnost, že tok vektoru A uzavřenou plochou je roven objemovému integrálu z divergence vektoru A.

Pro skalární veličinu f lze zavést její tok uzavřenou plochou S vztahem

Pro tenzorovou veličinu využijeme toho, že po kontrakci je tenzorem prvního řádu. Gaussovu větu pro tenzorovou veličinu pak můžeme vyjádřit jako

Kromě uvedených vztahů platí pro vektor A také vztah

G-O věta ve 3D[editovat | editovat zdroj]

kde je vnější normála na povrch S prostoru o objemu V.

Jinými slovy[editovat | editovat zdroj]

Tok přes hranici A prostoru je roven součtu zřídel a propadů v tomto prostoru.