Weierstrassova funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Weierstrassova funkce s konstantami a=0,5; b=3.
Ukázka soběpodobnosti.

Weierstrassova funkce, pojmenovaná po německém matematikovi Karlu Weierstrassovi, je matematická funkce, která je ve všech bodech spojitá, ale v žádném bodě nemá derivaci.

Funkce se chová jako fraktál, neboť zvětšené části grafu a původní graf jsou podobné.[1]

Definice[editovat | editovat zdroj]

Weierstrassova funkce bývá uváděna v různých tvarech s různými konstantami.

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x)
kde 0<a<1, b je kladné liché číslo a konstanty splňují následující podmínku.
 ab > 1+\frac{3}{2} \pi
Později bylo dokázáno, že poslední uvedenou podmínku lze nahradit podmínkou ab \ge 1.
Riemannova funkce, a=2.
f_a(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{ \sin(\pi k^a x) } {\pi k^a} \,
přičemž údajně podle původní publikace a = 2. Tato funkce má však v určitých izolovaných bodech konečné derivace. Podle jiných zdrojů[2] je tato funkce nazývána Riemannova, neboť podle Weierstrasse ji Bernhard Riemann uváděl na svých přednáškách okolo roku 1861.
  • Lze nalézt i jiné tvary nebo konkrétní konstanty.[1][3]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. a b Příklad Weierstrassovy funkce, ukázka soběpodobnosti: http://www.math.washington.edu/…
  2. http://epubl.ltu.se/1402-1617/2003/320/index-en.html
  3. http://pirate.shu.edu/~wachsmut/ira/cont/fp_weier.html