Průběh funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Průběh funkce

Pokud se snažíme zjistit alespoň přibližný tvar grafu funkce, hovoříme o tom, že vyšetřujeme průběh funkce. Při tom se zkoumají různé vlastnosti funkce a hledají se funkční body, které graf funkce dělí na intervaly mající příslušnou vlastnost. Při vyšetřování průběhu funkce se zajímáme o následující vlastnosti:

Na základě získaných výsledků vyšetřování průběhu funkce pak lze sestrojit graf.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Vyšetřujme průběh funkce .

Zatímco je definováno pro všechna reálná čísla, logaritmus je definován pouze pro . Definičním oborem vyšetřované funkce tedy bude .

Vzhledem k tomu, že funkce je definována pouze pro , není periodická, ani lichá nebo sudá.

Pro limitu v bodě 0 určíme pomocí l'Hospitalova pravidla

Funkci lze tedy definovat také v bodě , tzn. rozšířit definiční obor na .

Průsečík s osou získáme dosazením , tedy .

Průsečík s osou získáme z rovnice , která má řešení .

První a druhá derivace funkce jsou

Funkce je rostoucí v intervalu, ve kterém platí , což lze po dosazení zapsat jako . Řešením získáme, že funkce je rostoucí pro .

Funkce je klesající v intervalu, ve kterém platí , tzn. . Řešením získáme, že funkce je klesající pro .

V bodě je . Tento bod je tedy stacionárním bodem. Již z rozložení intervalů monotonie lze určit, že se jedná o ostré lokální minimum, což lze ověřit dosazením do druhé derivace, neboť . Hodnota funkce v tomto bodě je .

Vzhledem k tomu, že na celém definičním oboru funkce, je funkce konvexní ve všech bodech, kde je definována. Funkce nemá žádný inflexní bod.

Asymptoty k funkci neexistují, neboť .

Graf vyšetřované funkce tedy bude mít následující průběh.

Příklad vyšetřování průběhu funkce.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]