Optimalizace (matematika)

Matematická úloha optimalizace je snahou o nalezení takových hodnot proměnných, pro které daná cílová či účelová funkce nabývá minimální nebo maximální hodnoty. Mnoho teoretických úloh i úloh z reálného světa vede na řešení úlohy optimalizace. Často se vyskytuje při modelování fyzikálních jevů, kde cílová funkce $f$ má význam energie fyzikálního systému, která má v rovnovážném stavu systému být minimální.

Optimalizace představuje teoretický základ pro operační výzkum.

Definice

Je-li cílová funkce $f:A\to \mathbb {R}$, pak v úloze minimalizace hledáme takové $x_{0}\in A$, že $f(x_{0})\leq f(x)$ pro všechna $x\in A$. V úloze maximalizace naopak hledáme takové $x_{0}\in A$, že $f(x_{0})\geq f(x)$ pro všechna $x\in A$. Množina $A$ se nazývá přípustnou množinou.

Přípustná množina často bývá podmnožinou eukleidovského prostoru $\mathbb {R} ^{n}$, vydělenou omezujícími podmínkami ve formě rovností či nerovností.

Nalezený prvek $x_{0}$ je nazýván optimálním řešením. Pro obecnou úlohu optimalizace nemusí být jednoznačný.

Matematické programování

Úloha optimalizace je někdy nazývána též úlohou matematického programování (tento termín nemá přímý vztah k programování):

• lineární programování
• nelineární programování
• celočíselné programování
• parametrické programování
• konvexní programování
• kvadratické programování
• dynamické programování
• vícekriteriální programování

Dále existují:

• stochastické programování
• infinitní programování
• semi-infinitní programování
• semi-definitní programování

Algoritmy matematického programování:

• Simplexový algoritmus
• Metoda větví a mezí

Optimalizační úlohu někdy pomáhají řešit tzv. podmínky optimality.

Literatura

• Miroslav Maňas: Optimalizační metody, Státní nakladatelství technické literatury, Praha 1979, 1. vydání.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu optimalizace ve Wikimedia Commons
• http://www.uai.fme.vutbr.cz/~jdvorak/vyuka/tsoa/tsoa.htm
• http://home.eunet.cz/berka/o/