Lipschitzovsky spojité zobrazení

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Lipschitzovsky spojité zobrazení, nebo také lipschitzovské zobrazení, je zobecněním spojitého zobrazení na metrických prostorech. Jméno je podle německého matematika Rudolfa Lipschitze.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Lipschitzovsky spojité zobrazení je takové zobrazení f: M \rightarrow N mezi metrickými prostory (M,d_M) a (N,d_N), že existuje konstanta K > 0 a platí

d_N(f(x) , f(y)) \leq K \ d_M(x, y)

pro každé x, y \in M. Nejmenší taková konstanta K se nazývá lipschitzovská konstanta.

Lipschitzovsky spojité zobrazení s lipschitzovskou konstantou K < 1 se nazývá kontraktivní zobrazení, nebo kontrakce.

Lipschitzovsky spojité funkce[editovat | editovat zdroj]

Funkce f: \Omega \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} je lipschitzovsky spojitá, nebo lipschitzovská, pokud existuje konstanta K > 0 a pro každé x, y \in \Omega platí

|f(x) - f(y)| \leq K |x - y|.

Množina všech lipschitzovsky spojitých funkcí na oblasti \Omega se značí \mathcal{C}^{0,1}(\Omega).

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Každé lipschitzovsky spojité zobrazení je stejnoměrně spojité a tedy i spojité.

Lipschitzovsky spojitá funkce je již diferencovatelná skoro všude na \Omega.

Související články[editovat | editovat zdroj]