Stejnoměrně spojitá funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Stejnoměrná spojitost funkce je pojem matematické analýzy, který dále zesiluje spojitost funkce. O funkci ƒ můžeme říci, že je stejnoměrně spojitá, pokud obrazy ƒ(x) a ƒ(y) sobě dostatečně blízkých bodů x a y jsou si také blízko a tato vlastnost nezávisí na volbě x a y, ale pouze na jejich (dostatečně malé) vzdálenosti.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť a jsou metrické prostory. Funkci ƒ : X → Y nazveme stejnoměrně spojitou, pokud tak, že platí

Pokud X and Y jsou podmnožiny reálných čísel se standardní euklidovskou metrikou, můžeme říci, že funkce ƒ : X → Y je stejnoměrně spojitá, pokud tak, že platí

Povšimněme si rozdílů oproti definici jen spojité funkce, konkrétně pořadí kvantifikátorů, u stejnoměrně spojité funkce hodnota závisí pouze na velikosti a nikoli na bodu x.

Definice využívající posloupnosti[editovat | editovat zdroj]

Stejnoměrnou spojitost reálné funkce můžeme definovat i pomocí posloupností. Nechť A je podmnožinou Rn, . Funkce ƒ : A → Rm, je stejnoměrně spojitá, pokud pro každou dvojici reálných posloupností xn a yn splňujících:

platí:

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Funkce x  je stejnoměrně spojitá na celé reálné ose.
  • Exponenciální funkce x  ex je spojitá na celé reálné ose, ale není na ní stejnoměrně spojitá.
  • Nechť je metrický prostor. Pak je stejnoměrně spojitá funkce.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Spojitost funkce je lokální vlastnost funkce, zkoumáme, zda funkce je, či není spojitá v každém jednotlivém bodě. Pokud řekneme, že funkce je spojitá na intervalu, pak tím myslíme, že je spojitá v každém bodě tohoto intervalu. Oproti tomu stejnoměrná spojitost je vlastnost globální.
  • Každá stejnoměrně spojitá funkce je spojitá.
  • Spojitá funkce na kompaktu je stejnoměrně spojitá. Speciálně každá spojitá funkce na omezeném uzavřeném intervalu je stejnoměrně spojitá.
  • Lipschitzovská funkce je stejnoměrně spojitá.
  • Pokud je reálná funkce spojitá na intervalu a existuje vlastní , pak je funkce stejnoměrně spojitá na .
  • Složení dvou stejnoměrně spojitých funkcí je stejnoměrně spojité.