Spojitá funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
(přesměrováno z Stejnoměrně spojitá funkce)
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Tento článek je o spojitosti funkcí na reálných číslech. O obecnějším pojmu na topologických prostorech (jehož speciálním případem je i spojitost reálných funkcí) pojednává článek Spojité zobrazení.

Spojitá funkce je taková matematická funkce, jejíž hodnoty se mění plynule, což si lze intuitivně představit tak, že graf funkce lze nakreslit jedním tahem, aniž by se tužka zvedla z papíru. Funkce, která není spojitá, se označuje jako nespojitá.

Spojitost je také jednou ze základních vlastností požadovaných po matematických funkcích, mnoho matematických konstrukcí vyžaduje spojitost funkce jako nutnou podmínku, např. derivace, primitivní funkce apod.

Pro reálné funkce reálné proměnné lze spojitost funkce definovat následovně:

  • Funkce je v bodě spojitá, právě když platí .
  • Funkce je na intervalu spojitá, právě když pro každé platí .

Definice[editovat | editovat zdroj]

O funkci řekneme, že je spojitá v bodě , pokud ke každému libovolně malému číslu existuje takové číslo , že pro všechna , pro něž platí , platí také . Velikost čísla může záviset nejen na volbě čísla , ale i na volbě bodu .

Funkci označujeme jako spojitou zprava resp. zleva, pokud k libovolnému existuje takové , že pro všechna resp. , tzn. pro všechna z pravého resp. levého okolí bodu , platí . Funkce je spojitá tehdy, je-li spojitá zprava i zleva.

Uvedenou Cauchyho definici lze formulovat také pro funkci proměnných. O funkci o proměnných řekneme, že je spojitá v bodě , pokud ke každému libovolně malému číslu existuje takové číslo , že pro všechny body z okolí bodu , tzn. pro body jejichž vzdálenost splňuje podmínku , platí .

Stejnoměrná spojitost[editovat | editovat zdroj]

Funkce je stejnoměrně spojitá, jestliže obrazy a sobě dostatečně blízkých bodů a jsou si také dostatečně blízko a tato vlastnost nezávisí na volbě blízkých bodů, ale pouze na jejich (dostatečně malé) vzdálenosti.

Definice[editovat | editovat zdroj]

  • Nechť a jsou metrické prostory. Funkci nazveme stejnoměrně spojitou, pokud k libovolnému existuje takové, že pro libovolné dva body platí, že pokud , tak .
  • Mějme funkci definovanou na intervalu , pro niž k libovolnému existuje takové, že pro libovolné dva body z intervalu splňující podmínku platí . Pak říkáme, že funkce je stejnoměrně spojitá na intervalu .
  • Mějme funkci , kde a , pak říkáme, že funkce je stejnoměrně spojitá, pokud pro každou dvojici reálných posloupností a splňujících podmínku platí .

Povšimněme si rozdílů oproti definici jen spojité funkce, konkrétně pořadí kvantifikátorů, u stejnoměrně spojité funkce hodnota závisí pouze na velikosti , a nikoli na bodu .

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Spojitost funkce je lokální vlastnost funkce; zkoumáme, zda funkce je, či není spojitá v každém jednotlivém bodě. Pokud řekneme, že funkce je spojitá na intervalu, pak tím myslíme, že je spojitá v každém bodě tohoto intervalu. Oproti tomu stejnoměrná spojitost je vlastnost globální.
  • Každá stejnoměrně spojitá funkce je spojitá.
  • Složení dvou stejnoměrně spojitých funkcí je stejnoměrně spojité.
  • Lipschitzovská funkce je stejnoměrně spojitá.
  • Spojitá funkce na kompaktu je stejnoměrně spojitá. Speciálně každá spojitá funkce na omezeném uzavřeném intervalu je stejnoměrně spojitá.
  • Pokud je reálná funkce spojitá na intervalu a existuje vlastní limita , pak je funkce na intervalu stejnoměrně spojitá.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Funkce je pro stejnoměrně spojitá na celé reálné ose.
  • Exponenciální funkce je spojitá na celé reálné ose, ale není na ní stejnoměrně spojitá.
  • Nechť je metrický prostor. Pak je stejnoměrně spojitá funkce.

Absolutní spojitost[editovat | editovat zdroj]

Absolutní spojitost funkce zesiluje stejnoměrnou spojitost. Na rozdíl od ní se ale neomezuje na jeden dostatečně malý interval a velikost jeho obrazu, nýbrž klade nároky i na systémy (malých) intervalů.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Funkce je absolutně spojitá na intervalu , jestliže k libovolnému existuje takové , že pro každý systém intervalů , pro který je a platí .

Ekvivalentní definice[editovat | editovat zdroj]

Funkce je absolutně spojitá na právě tehdy, když

  • je rozdílem dvou neklesajících spojitých funkcí
  • taková, že
  • taková, že .

Pokud a , pak je absolutně spojitá na .

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Je-li funkce absolutně spojitá na intervalu , pak je na tomto intervalu spojitá.
  • Každá absolutně spojitá funkce je stejnoměrně spojitá a tedy spojitá.
  • Součet a rozdíl dvou absolutně spojitých funkcí je také absolutně spojitý.
  • Lipschitzovská funkce je absolutně spojitá.
  • Spojitost neimplikuje absolutní spojitost - Cantorova funkce je spojitá, ale není absolutně spojitá.
  • Stejnoměrná spojitost neimplikuje absolutní spojitost - Cantorova funkce je stejnoměrně spojitá, ale není absolutně spojitá.
  • Absolutně spojitá funkce derivaci skoro všude a platí: .

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Funkce je absolutně spojitá.

Polospojitost[editovat | editovat zdroj]

Přesněji polospojitost shora a polospojitost zdola jsou pojmy používané v matematické analýze. Jsou to vlastnosti reálných funkcí, které jsou slabší než spojitost, nicméně dány dohromady již spojitost implikují. Každá z nich je tedy sama o sobě jen „půl spojitosti“. Funkce je shora polospojitá v bodě , pokud pro body blízké bodu není o moc větší než . Funkce je zdola polospojitá v bodě , pokud pro body blízké bodu není o moc menší než .

Definice[editovat | editovat zdroj]

Shora polospojitá funkce.
  • Funkce , kde je topologický prostor, je shora polospojitá v bodě , pokud pro každé existuje okolí bodu tak, že pro každé platí .
  • Funkce je shora polospojitá v , jestliže je shora polospojitá v každém bodě . Je to právě tehdy, když jsou všechny množiny tvaru otevřené.

Ekvivalentně můžeme říci, že je shora polospojitá v bodě , pokud .

Zdola polospojitá funkce.
  • Funkce , kde je topologický prostor, je zdola polospojitá v bodě , pokud pro každé existuje okolí bodu tak, že pro každé platí .
  • Funkce je zdola polospojitá v , jestliže je zdola polospojitá v každém bodě . Je to právě tehdy, když jsou všechny množiny tvaru otevřené.

Ekvivalentně můžeme říci, že je zdola polospojitá v bodě , pokud .

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Nerovnost ukazuje, že pokud je v bodě polospojitá shora i zdola, je již v bodě spojitá.
  • Nerovnost ukazuje, že pokud je v bodě polospojitá shora i zdola, je již v bodě spojitá.
  • Funkce , která je shora polospojitá na kompaktním prostoru , je již nutně shora omezená na a má na maximum.
  • Funkce , která je zdola polospojitá na kompaktním prostoru , je již nutně zdola omezená na a má na minimum.
  • Protože , je supremum libovolného systému zdola polospojitých funkcí opět zdola polospojité.
  • Protože , je infimum libovolného systému shora polospojitých funkcí opět zdola polospojité.
  • Naopak supremum shora polospojitých (nebo dokonce spojitých) funkcí nemusí být shora polospojité, jak ukazuje příklad .
  • Norma na Banachově prostoru je slabě polospojitá zdola (tedy zdola polospojitá na topologickém prostoru ). Je-li dimenze nekonečná, norma nemůže být slabě polospojitá shora, tedy ani slabě spojitá.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Spojitost komplexní funkce[editovat | editovat zdroj]

Komplexní funkce je spojitá v bodě části komplexní roviny , na které je definovaná, jestliže platí:

.

Je-li funkce spojitá v každém bodě oblasti , pak říkáme, že je spojitá na oblasti .

Věty o spojitosti[editovat | editovat zdroj]

  • Heineho věta říká, že funkce definovaná na prstencovém okolí bodu je v bodě spojitá, právě když pro každou posloupnost čísel z uvedeného okolí bodu takovou, že a platí .
  • Weierstrassova věta říká, že je-li funkce spojitá na uzavřeném intervalu , pak na intervalu existuje alespoň jeden bod takový, že pro všechna . Jedná se o maximum funkce na intervalu . Současně také existuje alespoň jeden bod takový, že pro všechna . Jedná se o minimum funkce na intervalu . Funkce spojitá na uzavřeném intervalu je tedy na tomto intervalu také ohraničená.
  • Weierstrassova aproximační věta říká, že máme-li funkci spojitou na intervalu , pak pro každé existuje polynom takový, že pro všechna .
  • Bolzanova věta říká, že je-li funkce spojitá na uzavřeném intervalu a splňuje-li podmínku , pak existuje alespoň jeden bod takový, že .
  • Darbouxova věta říká, že je-li funkce spojitá na uzavřeném intervalu , pak pro a platí , tj. ke každému existuje tak, že .

Poznamenejme, že v anglické a francouzské matematické literatuře se pod pojmem Darbouxova věta rozumí většinou věta říkající, že derivace diferencovatelné funkce na otevřeném intervalu má tzv. vlastnost nabývání mezihodnot. V části ruské matematické literatury se pod pojmem Darbouxova věta rozumí věta uvedená v předchozím odstavci.

Body nespojitosti[editovat | editovat zdroj]

Body, v nichž daná funkce není spojitá, označujeme jako body nespojitosti:

Pokud v bodě existuje vlastní oboustranná limita, avšak je různá od funkční hodnoty v bodě , tj. , pak v bodě nastává odstranitelná nespojitost funkce , funkci lze v bodě předefinovat.

Bod nespojitosti prvního druhu funkce - takový bod , v němž existují obě vlastní limity zprava i zleva, avšak tyto limity mají rozdílné hodnoty, tj. . Rozdíl mezi těmito čísly, tj. , nazýváme skokem funkce v bodě .

Bod nespojitosti druhého druhu funkce - takový bod , v němž neexistuje alespoň jedna z vlastních jednostranných limit.

Body odstranitelné nespojitosti a neodstranitelné nespojitosti prvního a druhého druhu

Funkci, která je definována na intervalu , označíme jako po částech spojitou, je-li spojitá ve všech bodech intervalu s výjimkou konečného počtu bodů, v nichž má nespojitost prvního druhu.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Má-li funkce v bodě konečnou derivaci, pak je v bodě také spojitá.
  • Pokud je funkce spojitá v bodě a funkce spojitá v bodě , pak složená funkce je spojitá v bodě .

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Funkce dolní celá část, nespojitá v každém celém čísle
  • Všechny polynomické funkce, exponenciální funkce, sinus a kosinus a funkce absolutní hodnota jsou spojité v celém oboru reálných čísel.
  • Racionální funkce, logaritmy, tangens a kotangens jsou spojité na svém definičním oboru (ale nejsou definované pro všechna reálná čísla). Obecněji, všechny elementární funkce jsou spojité v každém bodě svého definičního oboru.
  • Funkce signum (znaménko) je nespojitá v bodě x = 0. I velmi malá změna hodnoty kolem tohoto bodu způsobí velkou změnu hodnoty: sgn −0,001 = −1, ale sgn 0,001 = 1. V tomto bodě je bod nespojitosti prvního druhu. Funkce má skok o velikosti 2.
  • Funkce pro získání nejbližšího menšího celého čísla je nespojitá v každém celém čísle. V každém z těchto bodů je bod nespojitosti prvního druhu se skokem o velikosti 1.
  • Extrémním příkladem je tzv. Dirichletova funkce, která je definovaná pro všechna reálná čísla, ale v žádném bodě není spojitá. Tato funkce má v každém bodě bod nespojitosti druhého druhu.
  • Funkce není definovaná v bodě a má zde konečnou limitu Jedná se tedy o odstranitelnou nespojitost. Spojitým dodefinováním funkční hodnoty v počátku vznikne funkce sinc.

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. 
  • JARNÍK, Vojtěch. Diferenciální počet I. 7. vyd. Praha: Academia, 1984. 392 s. 

Související články[editovat | editovat zdroj]