Absolutně spojitá funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Absolutní spojitost funkce je pojem matematické analýzy, který dále zesiluje stejnoměrnou spojitost. Na rozdíl od ní se ale neomezuje na jeden dostatečně malý interval a velikost jeho obrazu, nýbrž klade nároky i na systémy (malých) intervalů.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Funkci označíme jako absolutně spojitou na intervalu , jestliže k libovolnému existuje takové , že pro každý systém intervalů , pro který je , a platí .

Prostor všech absolutních funkcí na intervalu značíme

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Ekvivalentní definice[editovat | editovat zdroj]

je absolutně spojitá na právě tehdy, když

  • je rozdílem dvou neklesajících spojitých funkcí
  • taková, že
  • taková, že

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Součet a rozdíl dvou absolutně spojitých funkcí je také absolutně spojitý.
  • Každá absolutně spojitá funkce je stejnoměrně spojitá a tedy spojitá.
  • Každá lipschitzovská funkce je absolutně spojitá
  • Absolutně spojitá funkce f má derivaci skoro všude a platí:
  • pokud a , pak je absolutně spojitá na

Související články[editovat | editovat zdroj]