Odmocnina z jedné

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Páté odmocniny z jedné v komplexních číslech zakresleny v komplexní rovině

Odmocnina z jedné je pojmem v matematice, kde se jím nejobecněji označuje každý prvek okruhu, který umocněn na nějaké celé číslo dává jednotkový prvek. Zvláště významný případ představují odmocniny z jedné v tělese komplexních čísel, kde se někdy označují za de Moivrova čísla a jedná se o taková čísla, jejichž nějaká celočíselná mocnina je rovna jedné.

Speciálně se n-tou odmocninou z jedné pro n z kladných přirozených čísel rozumí takový prvek a, pro který platí . Taková odmocnina se dále nazývá primitivní n-tá odmocnina z jedné, pokud není k-tou odmocninou z jedné pro žádné .

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Každé algebraicky uzavřené těleson různých n-tých odmocnin z jedné za předpokladu, že n není dělitelné jeho charakteristikou.
  • Každá odmocnina z jedné je n-tou odmocninou z jedné pro nějaké n.
  • Každá mocnina odmocniny z jedné je také odmocninou z jedné, neboť
  • Je-li n-tá odmocnina z jedné, pak jsou její mocniny navzájem různé. Důkaz sporem: Je-li , kde bez újmy na obecnosti , pak také , což je ve sporu s primitivitou, neboť jsme našli menší exponent, , na který umocněno dává jedničku.
  • Protože polynom n-tého stupně může mít nanejvýš n kořenů, jsou všechny mocniny primitivní n-té odmocniny z jedné právě všemi n-tými odmocninami z jedné.
  • V komplexních číslech lze všechny n-té odmocniny z jedné vyjádřit pomocí de Moivrovy věty:
    , odkud po dosazení vyplývá hodnota n-té odmocniny z jedné, o které lze dokázat, že je primitivní:
    , tedy všechny odmocniny z jedné lze získat jako její mocniny:
    pro