Kubická rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Graf kubické funkce

Kubická rovnice (z lat. cubus – krychle) je algebraická rovnice třetího stupně. Její základní tvar vypadá následovně:

,

kde .

Jednotlivé členy mají tato označení:
je kubický člen, je kvadratický člen, je lineární člen a je absolutní člen.

Koeficient a musí být různý od nuly, jinak by se jednalo o kvadratickou rovnici. a, b, c a d jsou reálná čísla.

Diskriminant[editovat | editovat zdroj]

Diskriminant vypočítáme podle vztahu Mohou nastat tři případy:

  • D = 0, rovnice má buď jeden trojnásobný reálný kořen nebo jeden dvojnásobný a jeden jednoduchý reálný kořen
  • D > 0, rovnice má tři reálné kořeny
  • D < 0, rovnice má jeden reálný a dva komplexně sdružené kořeny

Řešení rovnice[editovat | editovat zdroj]

Obecné řešení kubické rovnice je uvedeno v článku Cardanovy vzorce. Některé druhy kubické rovnice se dají řešit i jednodušeji než cardanovými vzorci.

Kubická rovnice bez absolutního členu[editovat | editovat zdroj]

U těchto rovnic je koeficient d roven nule. Rovnice se tedy dá vytknutím snadno převést na kvadratickou. Jedním z řešení je vždy číslo 0.

Příklad[editovat | editovat zdroj]



Dále řešíme kvadratickou rovnici , jejími kořeny jsou čísla 2 a 3.
Kubická rovnice má tedy kořeny:

Reciproká rovnice[editovat | editovat zdroj]

Jestliže koeficienty pak se jedná o kladně reciprokou rovnici. Jejím kořenem je vždy číslo -1. Rovnici tedy vydělíme výrazem , získáme kvadratickou rovnici a jejím vyřešením zbývající dva kořeny. Jestliže pak rovnice je záporně reciproká a jejím kořenem je číslo 1. Vydělíme ji tedy výrazem

Příklad[editovat | editovat zdroj]



Kořeny jsou následující:

Kubická rovnice s celočíselným kořenem[editovat | editovat zdroj]

Taková rovnice se řeší podobně jako reciproká, ale kořenem může být i jiné číslo než 1 nebo -1

Kubická rovnice bez kvadratického a lineárního členu[editovat | editovat zdroj]

Taková rovnice je binomická, např.:

Viètovy vzorce[editovat | editovat zdroj]

Pro kořeny kubické rovnice a její koeficienty platí následující vztahy:

Související články[editovat | editovat zdroj]