Kubická rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Graf kubické funkce
y=2x^3-3x^2-3x+2

Kubická rovnice (z lat. cubus – krychle) je algebraická rovnice třetího stupně. Její základní tvar vypadá následovně:

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0,

kde a\ne 0.

Jednotlivé členy mají tato označení:
ax^3 je kubický člen, bx^2 je kvadratický člen, cx je lineární člen a d je absolutní člen.

Koeficient a musí být různý od nuly, jinak by se jednalo o kvadratickou rovnici. a, b, c a d jsou reálná čísla.

Diskriminant[editovat | editovat zdroj]

Diskriminant vypočítáme podle vztahu  D = 18abcd -4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2 Mohou nastat tři případy:

  • D = 0, rovnice má buď jeden trojnásobný reálný kořen nebo jeden dvojnásobný a jeden jednoduchý reálný kořen
  • D > 0, rovnice má tři reálné kořeny
  • D < 0, rovnice má jeden reálný a dva komplexně sdružené kořeny

Řešení rovnice[editovat | editovat zdroj]

Obecné řešení kubické rovnice je uvedeno v článku Cardanovy vzorce. Některé druhy kubické rovnice se dají řešit i jednodušeji než cardanovými vzorci.

Kubická rovnice bez absolutního členu[editovat | editovat zdroj]

U těchto rovnic je koeficient d roven nule. Rovnice se tedy dá vytknutím snadno převést na kvadratickou. Jedním z řešení je vždy číslo 0.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

x^3-5x^2+6x=0
x(x^2-5x+6)=0
Dále řešíme kvadratickou rovnici x^2-5x+6=0, jejími kořeny jsou čísla 2 a 3.
Kubická rovnice má tedy kořeny: x_1=0, x_2=2, x_3=3

Reciproká rovnice[editovat | editovat zdroj]

Jestliže koeficienty a=d, b=c pak se jedná o kladně reciprokou rovnici. Jejím kořenem je vždy číslo -1. Rovnici tedy vydělíme výrazem (x+1), získáme kvadratickou rovnici a jejím vyřešením zbývající dva kořeny. Jestliže a=-d, b=-c pak rovnice je záporně reciproká a jejím kořenem je číslo 1. Vydělíme ji tedy výrazem (x-1)

Příklad[editovat | editovat zdroj]

2x^3-3x^2-3x+2=0
(2x^3-3x^2-3x+2):(x+1)=[(2x^3+2)-(3x^2+3x)]:(x+1)=\tfrac{2(x^3+1)}{x+1}-\tfrac{3x(x+1)}{x+1}=\tfrac{2(x+1)(x^2-x+1)}{x+1}-3x=2x^2-5x+2
Kořeny jsou následující: x_1=-1, x_2=\tfrac{1}{2}, x_3=2

Kubická rovnice s celočíselným kořenem[editovat | editovat zdroj]

Taková rovnice se řeší podobně jako reciproká, ale kořenem může být i jiné číslo než 1 nebo -1

Kubická rovnice bez kvadratického a lineárního členu[editovat | editovat zdroj]

Taková rovnice je binomická, např.: x^3-27=0

Viètovy vzorce[editovat | editovat zdroj]

Pro kořeny kubické rovnice a její koeficienty platí následující vztahy:
 x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}, \quad x_1 x_2 x_3 = - \frac{d}{a}

Související články[editovat | editovat zdroj]