Cardanovy vzorce

Cardanovy vzorce jsou matematické vzorce, které se využívají k nalezení kořenů kubických rovnic. Jsou pojmenovány po svém objeviteli Girolamu Cardanovi.

Historie

Řešení je možné nalézt díky dvěma italským matematikům Scipionemu del Ferrovi a Tartagliovi, žákům Gerolama Cardana.

Postup

Rovnici nejprve převedeme na tvar

$x^{3}+ax^{2}+bx+c=0.\qquad (1)$$x^{3}+ax^{2}+bx+c=0.\qquad (1)$

Substitucí $x=t-a/3$$x=t-a/3$ odstraníme kvadratický člen, dostaneme rovnici

$t^{3}+pt+q=0,\quad {\mbox{kde}}\quad p=b-{\frac {a^{2}}{3}}\quad {\mbox{a}}\quad q=c+{\frac {2a^{3}-9ab}{27}}.\qquad (2)$$t^{3}+pt+q=0,\quad {\mbox{kde}}\quad p=b-{\frac {a^{2}}3}\quad {\mbox{a}}\quad q=c+{\frac {2a^{3}-9ab}{27}}.\qquad (2)$

Tuto rovnici můžeme řešit díky Thomasi Harriotovi (1560-1621) substitucí $t=y-{p \over 3y}$$t=y-{p \over 3y}$ a vynásobením obou stran $y^{3}$$y^{3}$, po mnoha pokráceních dostaneme $y^{6}+qy^{3}-{p^{3} \over 27}=0$$y^{6}+qy^{3}-{p^{3} \over 27}=0$, kterou jednoduše vyřešíme.
      My ale popíšeme originální Cardanovu metodu, která stále dominuje v dnešních učebnicích.

Předpokládejme, že lze nalézt dvě neznámé u a v splňující

$t=u+v$$t=u+v$

Tento výraz dosadíme do původní rovnice a po roznásobení dostaneme :

$u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0$$u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0$ (3)

Genialita Cardanova řešení spočívá v zavedení podmínky

$3uv+p=0$$3uv+p=0$.

To je možné, protože jsme zavedli dvě neznámé u a v spojené jen podmínkou u + v = t. Substitucí tohoto do první rovnice v (3) dostaneme

$-u^{3}+{\frac {p^{3}}{27u^{3}}}=q.$$-u^{3}+{\frac {p^{3}}{27u^{3}}}=q.$

Přesuneme všechno na q stranu, vynásobíme rovnost u³ a dostaneme

$u^{6}+qu^{3}-p^{3}/27=0\,.$$u^{6}+qu^{3}-p^{3}/27=0\,.$

Toto je kvadratická rovnice pro u³. Pokud budeme řešit tuto rovnici, zjistíme, že

$u^{3}=-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}$$u^{{3}}=-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{{2}} \over 4}+{p^{{3}} \over 27}}}$

$u={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}.\quad (4)$$u={\sqrt[ {3}]{-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{{2}} \over 4}+{p^{{3}} \over 27}}}}}.\quad (4)$

Protože t = v + u, t = x + a/3, a v = −p/3u, dostaneme

$x=-{\frac {p}{3u}}+u-{a \over 3}.$$x=-{\frac {p}{3u}}+u-{a \over 3}.$

Všimněte si, že máme šest možností počítání s u (4), protože existují dvě řešení, díky druhé odmocnině ($\pm$$\pm$), a tři komplexní řešení třetí odmocniny - hlavní odmocnina a hlavní odmocnina vynásobená ${\tfrac {-1}{2}}\pm i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$${\tfrac {-1}{2}}\pm i{\tfrac {{\sqrt {3}}}{2}}$. Nicméně znaménko druhé odmocniny (plus nebo mínus) neovlivní výsledné t (zřejmě -p/3u=v), ačkoli musíme být opatrní ve dvou zvláštních případech, abychom se vyhnuli dělení nulou. Za prvé, pokud p = 0, pak u = 0 a

$v=-{\sqrt[{3}]{q}}$$v=-{\sqrt[ {3}]{q}}$.

Za druhé, pokud p = q = 0, pak dostáváme trojnásobný reálný kořen t=0. Taky pokud q=0, pak

$u={\sqrt {p/3}}$$u={\sqrt {p/3}}$ a

$v=-{\sqrt {p/3}}$$v=-{\sqrt {p/3}}$, takže třetí odmocniny jsou t=u+v=0,

$t=ju-p/3ju={\sqrt {-p}}$$t=ju-p/3ju={\sqrt {-p}}$ a

$t=u/j-jp/3u=-{\sqrt {-p}}$$t=u/j-jp/3u=-{\sqrt {-p}}$, kde

$j={\tfrac {-1}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$$j={\tfrac {-1}{2}}+i{\tfrac {{\sqrt {3}}}{2}}$.

Shrnutí

Pro kubickou rovnici

$x^{3}+ax^{2}+bx+c=0\$$x^{3}+ax^{2}+bx+c=0\$

řešení pro neznámou x dostaneme jako

$x=-{\frac {p}{3u}}+u-{a \over 3}$$x=-{\frac {p}{3u}}+u-{a \over 3}$

kde

$p=b-{\frac {a^{2}}{3}}$$p=b-{\frac {a^{2}}3}$

$q=c+{\frac {2a^{3}-9ab}{27}}$$q=c+{\frac {2a^{3}-9ab}{27}}$

$u={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}.$$u={\sqrt[ {3}]{-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{{2}} \over 4}+{p^{{3}} \over 27}}}}}.$

Alternativní metoda získání stejných výsledků je následující.

Víme, že $u^{3}=-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}$$u^{{3}}=-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{{2}}}{4}}+{\frac {p^{{3}}}{27}}}}$ nebo ${\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}$${\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{{2}}}{4}}+{\frac {p^{{3}}}{27}}}}$ .

Ale protože u a v musí splňovat $-u^{3}-v^{3}=q$$-u^{{3}}-v^{{3}}=q$ a $-uv={\frac {p}{3}}$$-uv={\frac {p}{3}}$ můžeme dokázat, že pokud

$u^{3}=-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}$$u^{{3}}=-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{{2}}}{4}}+{\frac {p^{{3}}}{27}}}}$ pak $v^{3}=-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}$$v^{{3}}=-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{{2}}}{4}}+{\frac {p^{{3}}}{27}}}}$.

Vypsáním třetích odmocnin dostaneme

$u=\left\{{\begin{aligned}&{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\\end{aligned}}\right.~~~a~~~v=\left\{{\begin{aligned}&{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\\end{aligned}}\right.$$u=\left\{{\begin{aligned}&{\sqrt[ {3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{{2}}}{4}}+{\frac {p^{{3}}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\right){\sqrt[ {3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{{2}}}{4}}+{\frac {p^{{3}}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\right){\sqrt[ {3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{{2}}}{4}}+{\frac {p^{{3}}}{27}}}}}}\\\end{aligned}}\right.~~~a~~~v=\left\{{\begin{aligned}&{\sqrt[ {3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{{2}}}{4}}+{\frac {p^{{3}}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\right){\sqrt[ {3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{{2}}}{4}}+{\frac {p^{{3}}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\right){\sqrt[ {3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{{2}}}{4}}+{\frac {p^{{3}}}{27}}}}}}\\\end{aligned}}\right.$

Nezapomeňte, že díky $~t=u+v~$$~t=u+v~$ dostaneme jenom tři možné hodnoty t, protože jsou možné jen tři kombinace u a v, pokud $-uv={\frac {p}{3}}$$-uv={\frac {p}{3}}$ musí platit, takže -

$t=\left\{{\begin{aligned}&{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\\end{aligned}}\right.$$t=\left\{{\begin{aligned}&{\sqrt[ {3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{{2}}}{4}}+{\frac {p^{{3}}}{27}}}}}}+{\sqrt[ {3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{{2}}}{4}}+{\frac {p^{{3}}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\right){\sqrt[ {3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{{2}}}{4}}+{\frac {p^{{3}}}{27}}}}}}+\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\right){\sqrt[ {3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{{2}}}{4}}+{\frac {p^{{3}}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\right){\sqrt[ {3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{{2}}}{4}}+{\frac {p^{{3}}}{27}}}}}}+\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\right){\sqrt[ {3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{{2}}}{4}}+{\frac {p^{{3}}}{27}}}}}}\\\end{aligned}}\right.$

a x dostaneme jako $x=t-{\frac {a}{3}}$$x=t-{\frac {a}{3}}$

Všimněte si, že dosud uvedené metody použijeme, pokud p a q jsou komplexní. V případě, že p a q jsou obě reálné, může být elegantní následující řešení:

Nechť:

$D={\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}$$D={\frac {q^{{2}}}{4}}+{\frac {p^{{3}}}{27}}$

Potom:

1. Pokud D je kladné, pak dostaneme jeden reálný a dva komplexní kořeny.
2. Pokud D je záporné, pak dostaneme tři reálné kořeny.
3. Pokud D = 0, pak existuje jeden reálný kořen (trojnásobný) nebo dva reálné kořeny (dvojnásobný a jednoduchý).

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cubic_equation na anglické Wikipedii.