Cardanovy vzorce

Cardanovy vzorce jsou matematické vzorce, které se využívají k nalezení kořenů kubických rovnic. Jsou pojmenovány po Girolamu Cardanovi (autorem je Nicolo Fontana Tartaglia, ale Cardano porušil slib, že nezveřejní)

Historie

Řešení je možné nalézt díky dvěma italským matematikům Scipionemu del Ferrovi a Niccolò Tartagliovi, žákům Gerolama Cardana.

Postup

Rovnici nejprve převedeme na normovaný tvar

$x^{3}+ax^{2}+bx+c=0.\qquad (1)$

Substitucí (posunutím) $x=t-a/3$ odstraníme kvadratický člen, dostaneme rovnici

$t^{3}+pt+q=0,\quad {\mbox{kde}}\quad p=b-{\frac {a^{2}}{3}}\quad {\mbox{a}}\quad q=c+{\frac {2a^{3}-9ab}{27}}.\qquad (2)$

Tuto rovnici můžeme řešit díky Thomasi Harriotovi (1560-1621) substitucí $t=y-{p \over 3y}$ a vynásobením obou stran $y^{3}$, po mnoha pokráceních dostaneme $y^{6}+qy^{3}-{p^{3} \over 27}=0$, kterou jednoduše vyřešíme.
      My ale popíšeme originální Cardanovu metodu, která stále dominuje v dnešních učebnicích.

Předpokládejme, že lze nalézt dvě neznámé u a v splňující

$t=u+v$

Tento výraz dosadíme do původní rovnice a po roznásobení dostaneme :

$u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0$ (3)

Genialita Cardanova řešení spočívá v zavedení podmínky

$3uv+p=0$.

To je možné, protože jsme zavedli dvě neznámé u a v spojené jen podmínkou u + v = t. Substitucí tohoto do první rovnice v (3) dostaneme

$-u^{3}+{\frac {p^{3}}{27u^{3}}}=q.$

Přesuneme všechno na q stranu, vynásobíme rovnost u³ a dostaneme

$u^{6}+qu^{3}-p^{3}/27=0\,.$

Toto je kvadratická rovnice pro u³. Pokud budeme řešit tuto rovnici, zjistíme, že

$u^{3}=-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}$

$u={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}.\quad (4)$

Protože t = v + u, t = x + a/3, a v = −p/3u, dostaneme

$x=-{\frac {p}{3u}}+u-{a \over 3}.$

Všimněte si, že máme šest možností počítání s u (4), protože existují dvě řešení, díky druhé odmocnině ($\pm$), a tři komplexní řešení třetí odmocniny – hlavní odmocnina a hlavní odmocnina vynásobená ${\tfrac {-1}{2}}\pm i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$. Nicméně znaménko druhé odmocniny (plus nebo minus) neovlivní výsledné t (zřejmě -p/3u = v), ačkoli musíme být opatrní ve dvou zvláštních případech, abychom se vyhnuli dělení nulou. Za prvé, pokud p = 0, pak u = 0 a

$v=-{\sqrt[{3}]{q}}$.

Za druhé, pokud p = q = 0, pak dostáváme trojnásobný reálný kořen t = 0. Taky pokud q = 0, pak

$u={\sqrt {p/3}}$ a

$v=-{\sqrt {p/3}}$, takže třetí odmocniny jsou t = u + v = 0,

$t=ju-p/3ju={\sqrt {-p}}$ a

$t=u/j-jp/3u=-{\sqrt {-p}}$, kde

$j={\tfrac {-1}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$.

Shrnutí

Pro kubickou rovnici

$x^{3}+ax^{2}+bx+c=0\$

řešení pro neznámou x dostaneme jako

$x=-{\frac {p}{3u}}+u-{a \over 3}$

kde

$p=b-{\frac {a^{2}}{3}}$

$q=c+{\frac {2a^{3}-9ab}{27}}$

$u={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}.$

Alternativní metoda získání stejných výsledků je následující.

Víme, že $u^{3}=-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}$ nebo ${\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}$ .

Ale protože u a v musí splňovat $-u^{3}-v^{3}=q$ a $-uv={\frac {p}{3}}$ , můžeme dokázat, že pokud

$u^{3}=-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}$ , pak $v^{3}=-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}$.

Vypsáním třetích odmocnin dostaneme

$u=\left\{{\begin{aligned}&{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\\end{aligned}}\right.~~~a~~~v=\left\{{\begin{aligned}&{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\\end{aligned}}\right.$

Nezapomeňte, že díky $~t=u+v~$ dostaneme jenom tři možné hodnoty t, protože jsou možné jen tři kombinace u a v, pokud $-uv={\frac {p}{3}}$ , takže musí platit –

$t=\left\{{\begin{aligned}&{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\\end{aligned}}\right.$

a x dostaneme jako $x=t-{\frac {a}{3}}$

Všimněte si, že dosud uvedené metody použijeme, pokud p a q jsou komplexní. V případě, že p a q jsou obě reálná, může být elegantní následující řešení:

Označme tzv. diskriminant rovnice

$D={\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}$.

Potom platí:

1. Pokud D je kladné, pak dostaneme jeden reálný a dva imaginární sdružené kořeny.
2. Pokud D je záporné, pak dostaneme tři reálné kořeny (tzv. casus irreducibilis).
3. Pokud D = 0, pak existuje jeden trojnásobný reálný kořen anebo dva reálné kořeny (dvojnásobný a jednoduchý).

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cubic_equation na anglické Wikipedii.