Cardanovy vzorce jsou matematické vzorce, které se využívají k nalezení kořenů kubických rovnic. Jsou pojmenovány po Girolamu Cardanovi.
Řešení je možné nalézt díky dvěma italským matematikům Scipionemu del Ferrovi a Niccolò Tartagliovi, žákům Gerolama Cardana.
Rovnici nejprve převedeme na normovaný tvar

Substitucí (posunutím)
odstraníme kvadratický člen, dostaneme rovnici

Tuto rovnici můžeme řešit díky Thomasi Harriotovi (1560-1621) substitucí
a vynásobením obou stran
, po mnoha pokráceních dostaneme
, kterou jednoduše vyřešíme.
My ale popíšeme originální Cardanovu metodu, která stále dominuje v dnešních učebnicích.
Předpokládejme, že lze nalézt dvě neznámé u a v splňující

Tento výraz dosadíme do původní rovnice a po roznásobení dostaneme :
(3)
Genialita Cardanova řešení spočívá v zavedení podmínky
.
To je možné, protože jsme zavedli dvě neznámé u a v spojené jen podmínkou u + v = t. Substitucí tohoto do první rovnice v (3) dostaneme

Přesuneme všechno na q stranu, vynásobíme rovnost u3 a dostaneme

Toto je kvadratická rovnice pro u3. Pokud budeme řešit tuto rovnici, zjistíme, že

![u={\sqrt[ {3}]{-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{{2}} \over 4}+{p^{{3}} \over 27}}}}}.\quad (4)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70fa93abcc9c701acbf254c4436e15ba94aa495b)
Protože t = v + u, t = x + a/3, a v = −p/3u, dostaneme

Všimněte si, že máme šest možností počítání s u (4), protože existují dvě řešení, díky druhé odmocnině
(
), a tři komplexní řešení třetí odmocniny – hlavní odmocnina a hlavní odmocnina vynásobená
. Nicméně znaménko druhé odmocniny (plus nebo minus) neovlivní výsledné t (zřejmě -p/3u = v), ačkoli musíme být opatrní ve dvou zvláštních případech, abychom se vyhnuli dělení nulou. Za prvé, pokud p = 0, pak u = 0 a
.
Za druhé, pokud p = q = 0, pak dostáváme trojnásobný reálný kořen t = 0. Taky pokud q = 0, pak
a
, takže třetí odmocniny jsou t = u + v = 0,
a
, kde
.
Pro kubickou rovnici

řešení pro neznámou x dostaneme jako

kde


![u={\sqrt[ {3}]{-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{{2}} \over 4}+{p^{{3}} \over 27}}}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b565cc24871c0f41a1544d42234a250dd9ea7da1)
Alternativní metoda získání stejných výsledků je následující.
Víme, že
nebo
.
Ale protože u a v musí splňovat
a
, můžeme dokázat, že pokud
, pak
.
Vypsáním třetích odmocnin dostaneme
Nezapomeňte, že díky
dostaneme jenom tři možné hodnoty t, protože jsou možné jen tři kombinace u a v, pokud
, takže musí platit –
a x dostaneme jako
Všimněte si, že dosud uvedené metody použijeme, pokud p a q jsou komplexní. V případě, že p a q jsou obě reálná, může být elegantní následující řešení:
Označme tzv. diskriminant rovnice
.
Potom platí:
- Pokud D je kladné, pak dostaneme jeden reálný a dva imaginární sdružené kořeny.
- Pokud D je záporné, pak dostaneme tři reálné kořeny (tzv. casus irreducibilis).
- Pokud D = 0, pak existuje jeden trojnásobný reálný kořen anebo dva reálné kořeny (dvojnásobný a jednoduchý).
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cubic_equation na anglické Wikipedii.