Cardanovy vzorce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Cardanovy vzorce jsou matematické vzorce, které se využívají k nalezení kořenů kubických rovnic. Jsou pojmenovány po svém objeviteli Girolamu Cardanovi.

Historie[editovat | editovat zdroj]

Řešení je možné nalézt díky dvěma italským matematikům Scipionemu del Ferrovi a Tartagliovi, žákům Gerolama Cardana.

Postup[editovat | editovat zdroj]

Rovnici nejprve převedeme na tvar

Substitucí odstraníme kvadratický člen, dostaneme rovnici

Tuto rovnici můžeme řešit díky Thomasi Harriotovi (1560-1621) substitucí a vynásobením obou stran , po mnoha pokráceních dostaneme , kterou jednoduše vyřešíme.
      My ale popíšeme originální Cardanovu metodu, která stále dominuje v dnešních učebnicích.

Předpokládejme, že lze nalézt dvě neznámé u a v splňující

Tento výraz dosadíme do původní rovnice a po roznásobení dostaneme :

(3)

Genialita Cardanova řešení spočívá v zavedení podmínky

.

To je možné, protože jsme zavedli dvě neznámé u a v spojené jen podmínkou u + v = t. Substitucí tohoto do první rovnice v (3) dostaneme

Přesuneme všechno na q stranu, vynásobíme rovnost u3 a dostaneme

Toto je kvadratická rovnice pro u3. Pokud budeme řešit tuto rovnici, zjistíme, že

Protože t = v + u, t = x + a/3, a v = −p/3u, dostaneme

Všimněte si, že máme šest možností počítání s u (4), protože existují dvě řešení, díky druhé odmocnině (), a tři komplexní řešení třetí odmocniny - hlavní odmocnina a hlavní odmocnina vynásobená . Nicméně znaménko druhé odmocniny (plus nebo mínus) neovlivní výsledné t (zřejmě -p/3u=v), ačkoli musíme být opatrní ve dvou zvláštních případech, abychom se vyhnuli dělení nulou. Za prvé, pokud p = 0, pak u = 0 a

.

Za druhé, pokud p = q = 0, pak dostáváme trojnásobný reálný kořen t=0. Taky pokud q=0, pak

a
, takže třetí odmocniny jsou t=u+v=0,
a
, kde
.

Shrnutí[editovat | editovat zdroj]

Pro kubickou rovnici

řešení pro neznámou x dostaneme jako

kde

Alternativní metoda získání stejných výsledků je následující.

Víme, že nebo .

Ale protože u a v musí splňovat a můžeme dokázat, že pokud

pak .

Vypsáním třetích odmocnin dostaneme

Nezapomeňte, že díky dostaneme jenom tři možné hodnoty t, protože jsou možné jen tři kombinace u a v, pokud musí platit, takže -

a x dostaneme jako

Všimněte si, že dosud uvedené metody použijeme, pokud p a q jsou komplexní. V případě, že p a q jsou obě reálné, může být elegantní následující řešení:

Nechť:

Potom:

  1. Pokud D je kladné, pak dostaneme jeden reálný a dva komplexní kořeny.
  2. Pokud D je záporné, pak dostaneme tři reálné kořeny.
  3. Pokud D = 0, pak existuje jeden reálný kořen (trojnásobný) nebo dva reálné kořeny (dvojnásobný a jednoduchý).

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cubic_equation na anglické Wikipedii.