Algebra (struktura)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Algebra jako matematická struktura je vektorový prostor A nad tělesem F (anebo obecněji modul nad okruhem), na kterém je dána další operace násobení, které je lineární, t.j.

pro .

Typy algeber[editovat | editovat zdroj]

  • Algebra s jednotkou – algebra, ve které existuje jednotkový prvek vzhledem k násobení.
  • Asociativní algebra – násobení je asociativní.
  • Komutativní algebra – násobení je komutativní.
  • Lieova algebra – násobení je antisymetrické a splňuje Jacobiho identitu
  • Jordanovy algebry – komutativní algebra splňující pro každé x,y (Jordanova identita)
  • Alternující algebra – algebra, pro kterou je funkce (asociátor) totálně antisymetrický.
  • Podílová algebra – algebra, ve které má každý nenulový prvek inverzi vzhledem k násobení.
  • Normovaná algebra – je dána norma || taková, že

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Čtvercové matice řádu n spolu se sčítáním, násobením a násobením prvky tělesa tvoří asociativní algebru s jednotkou, tzv. maticovou algebru.

Oktoniony tvoří normovanou podílovou alternující algebru nad tělesem reálných čísel.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Každá podílová algebra nad libovolným tělesem může mít dimenzi jenom 1,2,4 nebo 8. Jediné normované podílové algebry nad tělesem reálných čísel jsou reálná čísla, komplexní čísla, kvaterniony a oktoniony.