Variace (kombinatorika)

Variace k-té třídy z n prvků je každá uspořádaná k-tice vytvořená z celkového počtu n prvků, přičemž při výběru záleží na pořadí jednotlivých prvků. Rozlišujeme variace s opakováním a bez opakování.

Variace bez opakování

• Variace bez opakování je k-členná skupina utvořená z daných n prvků tak, že v nich záleží na pořadí a žádný z daných prvků se v ní neopakuje.
• Počet k-členných variací z n prvků: $V(k,n)=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)={\frac {n!}{(n-k)!}}$ pro $k\leq n$
• například: 2členná variace ze 3 prvků a, b, c: (ab), (ba), (ac), (ca), (bc), (cb) $={\frac {3!}{(3-2)!}}=6$

Variace s opakováním

• Variace s opakováním je uspořádaná k-tice z n prvků sestavená tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše k-krát. Opět záleží na pořadí.
• Počet k-členných variací s opakováním z n prvků: $V'(k,n)=n^{k}$ platí i pro $k<n$
• například: 2členná variace s opakováním ze 3 prvků a, b, c: (aa), (ab), (ac), (ba), (bb), (bc), (ca), (cb), (cc) $=3^{2}=9$

Příklady

Příklad 1

Kolik trojciferných čísel je možné sestavit z číslic 1, 2, 3, 4, jestliže:

a) se v čísle každá cifra může vyskytovat nejvýše jednou

$V(3,4)={\frac {4!}{(4-3)!}}=4!=4.3.2=24$

b) se v čísle cifry mohou opakovat

$V'(3,4)=4^{3}=64$

Příklad 2

Kolik je možností pro obsazení 1., 2. a 3. místa v závodě s 20 účastníky?

$V(3,20)={\frac {20!}{(20-3)!}}={\frac {20!}{17!}}={\frac {20.19.18.17!}{17!}}=20.19.18=6840$

Příklad 3

Posádka lodi potřebuje k dorozumívání vytvořit 50 různých signálů. Budou jim k tomu stačit 4 různobarevné praporky?

• jednopraporkové signály: $V(1,4)=4$
• dvoupraporkové signály: $V(2,4)={\frac {4!}{2!}}=4.3=12$
• třípraporkové signály: $V(3,4)={\frac {4!}{1!}}=4!=4.3.2=24$
• čtyřpraporkové signály: $V(4,4)=P(4)=4!=24$

celkem lze vytvořit: $4+12+24+24=64$ signálů

Na vytvoření 50 signálů budou 4 různobarevné praporky stačit.

Příklad 4

Kolika způsoby můžete nastavit šestimístný číselný kód trezoru?

$V'(6,10)=10^{6}=1000000$

Literatura

• VOŠICKÝ, Zdeněk. Matematika v kostce: pro střední školy. Havlíčkův Brod: Fragment, 2007 (1. vydání). ISBN 978-802-5301-913. (česky) 

Související články

• Permutace
• Kombinace

Autoritní data: PSH: 7158