Laurentova řada

Tento článek není dostatečně ozdrojován a může tedy obsahovat informace, které je třeba ověřit.
Jste-li s popisovaným předmětem seznámeni, pomozte doložit uvedená tvrzení doplněním referencí na věrohodné zdroje.

Laurentova řada je řada ve tvaru $\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$$\sum _{{n=-\infty }}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$, kde $(a_{n})_{n=-\infty }^{\infty }$$(a_{n})_{{n=-\infty }}^{\infty }$ je posloupnost komplexních čísel a $z_{0}\in C$$z_{0}\in C$.

Definice

Řada tvaru

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}=\cdots +{\frac {a_{-2}}{(z-z_{0})^{2}}}+{\frac {a_{-1}}{z-z_{0}}}+a_{0}+a_{1}(z-z_{0})+a_{2}(z-z_{0})^{2}+\cdots$$\sum _{{n=-\infty }}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}=\cdots +{\frac {a_{{-2}}}{(z-z_{0})^{2}}}+{\frac {a_{{-1}}}{z-z_{0}}}+a_{0}+a_{1}(z-z_{0})+a_{2}(z-z_{0})^{2}+\cdots$

kde $(a_{n})_{n=-\infty }^{\infty }$$(a_{n})_{{n=-\infty }}^{\infty }$ je posloupnost komplexních čísel a $z_{0}\in C$$z_{0}\in C$ se nazývá Laurentova řada se středem v bodě $z_{0}$$z_{0}$ a koeficienty $(a_{n})_{n=-\infty }^{\infty }$$(a_{n})_{{n=-\infty }}^{\infty }$.

Řada $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$$\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$ je pak regulární částí Laurentovy řady a $\sum _{n=-\infty }^{-1}a_{n}(z-z_{0})^{n}$$\sum _{{n=-\infty }}^{{-1}}a_{n}(z-z_{0})^{n}$ je pak hlavní část Laurentovy řady.

Konvergence

Laurentova řada konverguje v daném bodě $z_{0}$$z_{0}$ konverguje-li současně v tomto bodě její hlavní i regulární část.