Kvartická rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Kvartická rovnice je algebraická rovnice o jedné neznámé, kterou lze vyjádřit v obecném tvaru

,

kde .

U kvartických rovnic se používá následující terminologie:

  • – kvartický člen
  • – kubický člen
  • – kvadratický člen
  • – lineární člen
  • – absolutní člen

Bikvadratická rovnice[editovat | editovat zdroj]

Speciálním případem kvartické rovnice je rovnice bikvadratická, která má tvar

Řešení bikvadratické rovnice[editovat | editovat zdroj]

Bikvadratickou rovnici lze řešit pomocí substituce , čímž vznikne kvadratická rovnice

Řešení této kvadratické rovnice lze vyjádřit ve tvaru

Toto řešení použijeme pro získání hodnot , které jsou řešením původní bikvadratické rovnice, přičemž platí

Obecné řešení kvartické rovnice[editovat | editovat zdroj]

Obecné řešení kvartické rovnice lze najít analyticky jen velmi obtížně, jedná se o nejvyšší (čtvrtý) stupeň algebraické rovnice, která je řešitelná analyticky (tj. pomocí 4 základních aritmetických operací a odmocňování). Jako první nalezl řešení Ital Ludovico Ferrari někdy v 16. století, když byl žákem Girolama Cardana, nicméně existuje mnoho elegantnějších metod, jak takové rovnice řešit. Jednu z nich předložil např. Francouz René Descartes a tuto metodu zde uvedeme.

Řešení spočívá v následujícím postupu:

1. Máme kvartickou rovnici

Vydělíme-li rovnici koeficientem kvartického členu , tím získáme rovnici, jejíž koeficient kvartického členu bude 1. Nově získaná rovnice bude vypadat takto:

2. Použijeme substituci

Tím dostaneme jinou rovnici s novou neznámou . Mezi neznámými , však existuje vztah, takže dokážeme-li najít neznámou , pak dokážeme najít i neznámou . Tuto konkrétní substituci jsme zvolili proto, abychom získali jistý speciální tvar nové rovnice – tato rovnice bude mít tzv. redukovaný tvar:

3. Rozložíme čtyřčlen na dva kvadratické trojčleny, jejichž koeficienty kvadratických členů budou mít hodnotu 1. Označme ostatní koeficienty jako ,, , . Má tedy platit, že:

,

a tedy z předchozího kroku plyne:

Aby rovnost platila, musí platit následující vztahy (což zjistíme po roznásobení kvadratických trojčlenů výše):

(tento vztah jsem získal tak, že jsem si uvědomil, že celkový koeficient kubického členu musí být 0, abych ho mohl vypustit a získat namísto pětičlenu jen čtyřčlen)

4. Všimneme si, že vztah lze snadno přetvořit na , čehož využijeme a dosadíme výraz do trojčlenu namísto , čímž získáme rovnost

5. Roznásobíme nově vzniklé trojčleny a získáme následující rovnosti:

První dva z těchto vztahů ještě vhodně upravím:

6. Zaměříme se nyní na dvojici výrazů ,. Podařilo se mi vyjádřit jejich součet , jejich rozdíl a jejich součin . O součtu, součinu a rozdílu dvou libovolných hodnot platí vztah:

Úplně stejný vztah nyní uplatním na výrazy ,:

Místo součtu, součinu a rozdílu hodnot , ale dosadím jejich jiné vyjádření, které jsem získal v 5. kroku.

7. Uvědomíme si, že hodnoty , , jsou parametry, a tedy konkrétní číselné hodnoty, které známe. Proto se jedná o rovnici s neznámou . Rovnici postupně upravím, až dostanu tvar:

8. Všimneme si, že v rovnice obsahuje pouze sudé mocniny neznámé . Proto položíme substituci . Tím získám kubickou rovnici, kterou už není tak těžké vyřešit.

9. Zjistili jsme neznámou a tedy i . Po dosazení číselné hodnoty do vztahů z 5. kroku snadno zjistíme hodnoty , . Tím jsme nalezli konkrétní číselné koeficienty obou trojčlenů.

10. Nyní se vrátíme k rovnosti z 3. kroku:

.

Kdy je součin trojčlenů roven nule? Právě tehdy, je-li aspoň jeden trojčlen roven 0. Z toho plyne, že kořeny získáme vyřešením kvadratické rovnice , zatímco kořeny vyřešením kvadratické rovnice .

11. Známe-li kořeny , pomocí vztahu z 2. kroku již snadno nalezneme kořeny původní rovnice .

Poznámka – Řešení by šlo jistě vyjádřit i pomocí původních koeficientů , , , , , ale jeho zápis by byl poměrně komplikovaný a nepraktický, proto ho zde neuvádíme. Analytické řešení je sice přesné, ale někdy je výhodné hádat některé kořeny nebo se pokusit z hlavy rozložit aspoň částečně pětičlen, je-li řešení vidět hned, a tím zredukovat rovnici na nižší stupně.

Např. rovnici lze snadno rozložit na , popř. ještě dál na: , a tak uhodnout z hlavy kořeny , .


Obrázky[editovat | editovat zdroj]

Vzorce, které ukazují obecné řešení redukovaného tvaru rovnice (1).

Ještě složitější vzorce by vycházely pro normovaný tvar kvartické rovnice.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]