Kompaktní množina

Kompaktní množina, nebo také kompaktní prostor, je taková množina bodů topologického prostoru, že z každého jejího pokrytí otevřenými množinami lze vybrat pokrytí konečné. Tato definice v topologii zobecňuje a formalizuje intuitivní představu konečného objemu.

V Euklidovských prostorech jsou kompaktní množiny právě omezené a uzavřené podmnožiny. Například v množině reálných čísel R je uzavřený interval [0, 1] kompaktní množinou, ale množina celých čísel Z nikoliv (není omezená). Stejně tak polouzavřený interval [0, 1) není kompaktní množinou, protože to není uzavřená množina.

Na metrických prostorech lze ekvivalentně definovat kompaktní množinu pomocí posloupností: kompaktní množina je taková množina, že z každé posloupnosti v této množině lze vybrat posloupnost konvergentní (v této množině), tuto vlastnost nazýváme sekvenciální kompaktnost. Kompaktní množina je na těchto prostorech uzavřená a omezená, (ovšem pozor, opačná implikace obecně neplatí).

V konečnědimenzionálních normovaných vektorových prostorech je množina kompaktní pravě tehdy, když je uzavřená a omezená.

Prostor se označuje jako lokálně kompaktní, existuje-li ke každému jeho bodu kompaktní okolí.

Ekvivalentní definice pro metrické prostory

• Metrický prostor je kompaktní právě tehdy, když je úplný a totálně omezený.
• Metrický prostor je kompaktní právě tehdy, když pro libovolnou posloupnost $\{F_{n}\}$ neprázdných uzavřených množin, splňující $F_{n+1}\subset F_{n}$ pro všechna přirozená $n$ platí $\cap _{n=1}^{\infty }F_{n}\neq \emptyset$. Viz Cantorova věta o průniku kompaktů.

Příklady kompaktních množin

• prázdná množina
• libovolný konečný topologický prostor
• Cantorova množina
• pokud a a b jsou reálná čísla, je interval [a, b] kompaktní množinou v množině reálných čísel.
• uzavřená jednotková koule v konečnědimenzionálním normovaném vektorovém prostoru

Vlastnosti

• Každá spojitá funkce z kompaktního metrického prostoru do prostoru reálných čísel nabývá svého maxima i minima.
• Každá spojitá funkce z kompaktního metrického prostoru do prostoru reálných čísel je omezená.
• Kompaktní podmnožina Hausdorffova prostoru je uzavřená.
• Uzavřená podmnožina kompaktního prostoru je kompaktním prostorem.
• Při spojitém zobrazení je obrazem kompaktní množiny opět kompaktní množina.
• Každá spojitá funkce na kompaktu je stejnoměrně spojitá. Viz Cantorova-Heineova věta.
• Konečné sjednocení kompaktních prostorů je kompaktní.
• Platí Tichonovova věta: kartézský součin libovolné množiny kompaktů je kompaktní (v součinové topologii).
• Kompaktní metrický prostor je separabilní.
• Metrický prostor je kompaktní právě tehdy, když každá posloupnost má konvergentní podposloupnost.
• Nechť $P$ je kompaktní metrický prostor, $Q$ je metrický prostor a $f:P\to Q$ je spojitá bijekce. Potom $f$ je homeomorfismus.

Kompaktní Lieovy grupy

Obzvlášť důležitá je kompaktnost ve studiu Lieových grup a jejich reprezentací. Platí pro ně řada důležitých vlastností a reprezentace obecných Lieových grup se často konstruují pomocí reprezentací kompaktních podgrup.

• Klasifikace kompaktních Lieových grup je známá (jsou to právě kompaktní formy komplexních polojednoduchých Lieových grup, případně jejich konečná nakrytí a součiny s kružnicí).
• Na kompaktní grupě vždy existuje konečná invariantní míra, tzv. Haarova míra, díky které je možné na kompaktních grupách zavést integrování.
• Všechny ireducibilní reprezentace kompaktní Lieovy grupy jsou konečněrozměrné a unitarizovatelné
• Každá reprezentace kompaktní Lieovy grupy se rozpadá na direktní součet konečně rozměrných reprezentací
• Maticové koeficienty těchto reprezentací tvoří ortonormální bázi $L^{2}$-funkcí na dané grupě, což umožňuje zobecnit harmonickou analýzu na nekomutativní kompaktní grupy (viz též Peter-Weylova věta).

Kompaktní variety

Klasifikace obecných souvislých kompaktních variet není známa. Kompaktní varieta v dimenzi 1 je pouze kružnice. V dimenzi 2 jsou to orientovatelné anebo neorientovatelné plochy charakterizované navíc jedním přirozeným číslem (genus). V dimenzi 3 byla v roce 2002 dokázána tzv. Poincarého hypotéza: každá kompaktní jednoduše souvislá 3-varieta je homeomorfní 3-sféře.

Literatura

• Topology, John Gilbert Hocking, Gail S. Young, Courier Dover Publications, 1988
• General topology, John L. Kelley, Birkhäuser, 1975, kapitola 5
• Elementary Topology and Applications, Carlos R. Borges, World Scientific Publishing Company (2001), kapitola 3

Související články

• Topologie

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu kompaktní množina na Wikimedia Commons

Portály: Matematika