Cantorova-Heineova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice Cantorova-Heine věta, pojmenována po Georgu Cantorovi a Eduardovi Heineovi a , říká, že pokud M je kompaktní metrický prostor, potom každá spojitá funkce

f : M → N,

kde N je metrický prostor, je stejnoměrně spojitá.

Například, pokud f : [a,b] → R je spojitá funkce, pak je taktéž stejnoměrně spojitá.

Toto není Cantorova věta.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Předpokládejme, že f je spojitá na kompaktním metrickém prostoru M, avšak není stejnoměrně spojitá. Potom negace výroku

takové, že pro každé x, y z M

je:

takové, že tak, že a .

kde d a jsou metriky metrických prostorů M, respektive N.

Zvolme dvě posloupnosti xn a yn takové, že

a .

Protože M je kompaktní, pak z nich lze vybrat konvergentní podposloupnosti ( konvergující k x0 a k y0), takové, že

ale protože f je spojitá a a konvergují ke stejnému bodu, je poslední důsledek nemožný. Proto musí být nepravdivý předpoklad nestejnoměrnosté spojitosti.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Heine-Cantor theorem na anglické Wikipedii.