Cantorova věta o průniku kompaktů

Cantorova věta o průniku kompaktů tvrdí: Nechť $K_{1}\supset K_{2}\supset K_{3}...$ je posloupnost do sebe vnořených neprázdných kompaktů. Pak jejich průnik je neprázdná množina.

Důkaz

Zvolím posloupnost $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ tak, že pro každé přirozené číslo $i$ je $x_{i}\in K_{i}$. Díky tomu, že $K_{1}$ je kompakt, lze z této posloupnosti vybrat podposloupnost konvergující k $x_{0}\in K_{1}$.

Dále si všimnu, že pro každé $n\in \mathbb {N}$ leží všechny členy od jistého indexu této vybrané podposloupnosti uvnitř $K_{n}$ (díky způsobu, jakým jsou do sebe kompakty vnořeny). To platí pro každé přirozené číslo $n$, tedy průnik až do nekonečna je neprázdný.

Související články

• Georg Cantor

Literatura

Portály: Matematika