Cantorova věta o průniku kompaktů

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Cantorova věta o průniku kompaktů tvrdí: Nechť je posloupnost do sebe vnořených neprázdných kompaktů. Pak jejich průnik je neprázdná množina.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Zvolím posloupnost tak, že pro každé přirozené číslo je . Díky tomu, že je kompakt, lze z této posloupnosti vybrat podposloupnost konvergující k .

Dále si všimnu, že pro každé leží všechny členy od jistého indexu této vybrané podposloupnosti uvnitř (díky způsobu, jakým jsou do sebe kompakty vnořeny). To platí pro každé přirozené číslo , tedy průnik až do nekonečna je neprázdný.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]