Tichonovova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Tichonovova věta je matematické tvrzení z oblasti topologie. Říká, že libovolný součin kompaktních topologických prostorů je také kompaktní. Platnost této věty je ekvivalentní axiomu výběru. Poprvé ji dokázal roku 1929 Andrej Nikolajevič Tichonov.

Přesné znění[editovat | editovat zdroj]

Za předpokladu axiomu výběru: Nechť X_\alpha,\; \alpha\in A jsou kompaktní topologické prostory, A libovolná množina. Pak součin \prod_{\alpha\in A} X_\alpha je kompaktní.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

K důkazu se využívá takzvané Alexandrovovo lemma, které říká následující:

(Lemma Alexandrov) Nechť v topologickém prostoru Y existuje subbáze S taková, že z každého pokrytí prostoru Y prvky S lze vybrat konečné podpokrytí. Pak prostor Y je kompaktní.

Dále volme v součinu \prod_{\alpha\in A} X_\alpha subbázi S=\{\Pi^{-1}_\alpha(G);\;\alpha\in A,\, G otevřená v \,X_\alpha\}, kde \,\Pi_\alpha:\prod_{\alpha\in A} X_\alpha \rightarrow X_\alpha jsou kanonické projekce. Nechť je dáno pokrytí \mathcal{P} prostoru Y prvky S. Dle Alexandrovova lemmatu stačí ukázat, že z \mathcal{P} lze vybrat konečné podpokrytí.

Volme \,\mathcal{P}_\alpha=\{G\subseteq X_\alpha;\;\Pi^{-1}_\alpha(G)\in\mathcal{P}\} pro každé \,\alpha\in A. Pak zřejmě alespoň jeden ze systémů \mathcal{P}_\alpha pokrývá \,X_\alpha, neboť jinak zvolíme-li pro každé \,\alpha\in A x_\alpha takové, že není v žádné množině z \mathcal{P}_\alpha, neleží (x_\alpha)_{\alpha\in A}\in\prod_{\alpha\in A} X_\alpha v žádné množině z \mathcal{P} (to plyne triviálně z \mathcal{P}\subseteq S), což je spor s tím, že \mathcal{P} je pokrytí součinu. Tedy máme \alpha takové, že \,\mathcal{P}_\alpha pokrývá \,X_\alpha. Pak z kompaktnosti \,X_\alpha existují G_1,\ldots,G_k\in\mathcal{P}_\alpha, že \bigcup_{i=1}^k G_i = X_\alpha, pak \Pi^{-1}_\alpha(G_1),\ldots,\Pi^{-1}_\alpha(G_k)\in\mathcal{P} a zřejmě \bigcup_{i=1}^k \Pi^{-1}_\alpha(G_i)=\prod_{\alpha\in A} X_\alpha, tedy jsme nalezli konečné podpokrytí \mathcal{P}, což jsme potřebovali.

Aplikace[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V češtině:

V angličtině:

V němčině: