Tichonovova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Tichonovova věta je matematické tvrzení z oblasti topologie. Říká, že libovolný součin kompaktních topologických prostorů je také kompaktní. Platnost této věty je ekvivalentní axiomu výběru. Poprvé ji dokázal roku 1929 Andrej Nikolajevič Tichonov.

Přesné znění[editovat | editovat zdroj]

Za předpokladu axiomu výběru: Nechť jsou kompaktní topologické prostory, A libovolná množina. Pak součin je kompaktní.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

K důkazu se využívá takzvané Alexandrovovo lemma, které říká následující:

(Lemma Alexandrov) Nechť v topologickém prostoru Y existuje subbáze S taková, že z každého pokrytí prostoru Y prvky S lze vybrat konečné podpokrytí. Pak prostor Y je kompaktní.

Dále volme v součinu subbázi otevřená v , kde jsou kanonické projekce. Nechť je dáno pokrytí prostoru Y prvky S. Dle Alexandrovova lemmatu stačí ukázat, že z lze vybrat konečné podpokrytí.

Volme pro každé . Pak zřejmě alespoň jeden ze systémů pokrývá , neboť jinak zvolíme-li pro každé takové, že není v žádné množině z , neleží v žádné množině z (to plyne triviálně z ), což je spor s tím, že je pokrytí součinu. Tedy máme takové, že pokrývá . Pak z kompaktnosti existují , že , pak a zřejmě , tedy jsme nalezli konečné podpokrytí , což jsme potřebovali.

Aplikace[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V češtině:

V angličtině:

V němčině: