Totálně omezený metrický prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Nejobecnější definice Totálně omezeného metrického prostoru je:

podmnožina S prostoru X je totálně omezená tehdy a pouze tehdy, pokud pro danou velikost E existuje:

  • přirozené číslo n a soubor podmnožin množiny X, takový, že
    • S je podmnožinou sjednocení těchto podmnožin (jinak řečeno, tento soubor podmnožin je konečné pokrytí množiny S) a
    • každá podmnožina Ai má velikost E (nebo menší).

V matematické symbolice:

Uvažujeme-li P=X, pak je prostor X totálně omezený tehdy a jen tehdy, je li P totálně omezená množina.

Porovnání s omezenou množinou[editovat | editovat zdroj]

Totální omezenost je silnější vlastnost, než omezenost.

Ukážeme to na příkladu. Uvažme prostor všech omezených posloupností reálných čísel, kde metrika přiřadí dvojici posloupností supremum z absolutní hodnoty jejich rozdílu přes všechny položky, tedy supremum z čísel .

Uvažme množinu těch posloupností, které na každé pozici mají 2 nebo -2.

Metrický prostor není omezený (ačkoli obsahuje pouze omezené posloupnosti). Množina je omezená, ale nikoli totálně omezená. Omezenost plyne z toho, že každý prvek má od posloupnosti samých nul vzdálenost nejvýše 2. Kdyby byl totálně omezený, pak by pro existovala konečná -síť , jejíž prvky můžeme označit , kde je počet jejích prvků.

Pak by bylo možné definovat posloupnost , definovanou takto:

  • , pokud a
  • , pokud a
  • , pokud

Symbol značí -tý prvek -té posloupnosti v množině . Myšlenka důkazu je v tom, že posloupnost se musí "dostatečně lišit" od každé posloupnosti , čehož dosáhneme tak, že pro každé vhodnou volbou zajistíme dostatečnou odlišnost od posloupnosti

Z předpokladu totální omezenosti vyplývá, že nějaký prvek má od posloupnosti vzdálenost menší, než 1. Z definice však plyne, že číslo je od čísla vzdálené nejméně 2, takže i vzdálenost těchto posloupností (což je supremum vzdáleností na jednotlivých položkách) musí být nejméně 2, což je spor.

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Totally bounded space na anglické Wikipedii.

Literatura[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]