Banachova věta o pevném bodě

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Banachova věta o pevném bodě (nebo také Banachova věta o kontrakci) říká, že v neprázdném úplném metrickém prostoru existuje pro danou kontrakci právě jeden pevný bod.

Znění věty[editovat | editovat zdroj]

Nechť je neprázdný úplný metrický prostor a je kontrakce na . Pak existuje právě jeden prvek takový, že .

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

je kontrakce, existuje tedy takové, že pro všechny platí

.

Zvolme libovolně . Dále sestrojme posloupnost zadanou rekurzí pro jako . Nyní ukážeme, že tato posloupnost je Cauchyovská, tedy

Pro dané , a (bez újmy na obecnosti volíme ) hledáme . Z trojúhelníkové nerovnosti pro metriku plyne

dále z vlastnosti kontrakce a sečtením členů geometrické posloupnosti

Limita posledního výrazu pro je nula, pro každé tedy existuje , že

a posloupnost je tedy Cauchyovská. Protože je metrický prostor úplný, Cauchyovská posloupnost konverguje k nějakému .

z věty o limitě složené funkce (vnější funkce je spojitá, protože každá kontrakce je spojitá)

je tedy pevným bodem zobrazení .


Zbývá ukázat, že je jediným pevným bodem. Ukážeme to sporem - předpokládejme, že existují pevné body a .

protože je kladné můžeme obě strany krátit a zbude

,

což je spor, protože .