Banachova věta o pevném bodě

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Banachova věta o pevném bodě (nebo také Banachova věta o kontrakci) říká, že v neprázdném úplném metrickém prostoru existuje pro danou kontrakci právě jeden pevný bod.

Znění věty[editovat | editovat zdroj]

Nechť (P, d) \, je neprázdný úplný metrický prostor a A:P\to P je kontrakce na P \,. Pak existuje právě jeden prvek x\in P takový, že Ax=x \,.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

A \, je kontrakce, existuje tedy \alpha\in[0,1) takové, že pro všechny x,y\in P platí

d(Ax,Ay)\leq \alpha d(x,y).

Zvolme libovolně x_0\in P. Dále sestrojme posloupnost zadanou rekurzí pro n\in\mathbb{N} jako x_n=Ax_{n-1} \,. Nyní ukážeme, že tato posloupnost je Cauchyovská, tedy

\forall \varepsilon > 0 \; \exists n_0 \in \mathbb{N}\; \forall m, n \ge n_0\;: d(x_m, x_n) < \varepsilon

Pro dané \varepsilon \,, m \, a n \, (bez újmy na obecnosti volíme n\le m) hledáme n_0(\varepsilon). Z trojúhelníkové nerovnosti pro metriku plyne

d(x_n, x_m)\leq d(x_n, x_{n+1})+d(x_{n+1}, x_{n+2})+\cdots+d(x_{m-1}, x_{m})\leq

dále z vlastnosti kontrakce a sečtením m-n \, členů geometrické posloupnosti

\leq d(x_n, x_{n+1})+\alpha d(x_{n}, x_{n+1})+\cdots+\alpha^{m-n-1} d(x_{n}, x_{n+1})=
(1+\alpha+\cdots+\alpha^{m-n-1}) d(x_n, x_{n+1})=
=\frac{1-\alpha^{m-n}}{1-\alpha}\alpha^{n} d(x_0,x_1)\leq\frac{\alpha^{n}}{1-\alpha} d(x_0,x_1)

Limita posledního výrazu pro n\to \infty je nula, pro každé \varepsilon tedy existuje n_0 \,, že

d(x_n, x_m)\leq\frac{\alpha^{n}}{1-\alpha} d(x_0,x_1)<\varepsilon

a posloupnost x_n \, je tedy Cauchyovská. Protože je metrický prostor (P,d) \, úplný, Cauchyovská posloupnost x_n \, konverguje k nějakému x\in P.

x=\lim_{n\to \infty}x_n=\lim_{n\to \infty}Ax_{n-1}=

z věty o limitě složené funkce (vnější funkce A \, je spojitá, protože každá kontrakce je spojitá)

=A\lim_{n\to \infty}x_{n-1}=Ax

x \, je tedy pevným bodem zobrazení A \,.


Zbývá ukázat, že x \, je jediným pevným bodem. Ukážeme to sporem - předpokládejme, že existují pevné body x, y\in P a x\neq y.

d(x,y)=d(Ax,Ay)\leq\alpha d(x,y)

protože d(x,y) \, je kladné můžeme obě strany krátit a zbude

1\leq\alpha,

což je spor, protože \alpha\in [0,1).