Banachova věta o pevném bodě

Banachova věta o pevném bodě (nebo také Banachova věta o kontrakci) říká, že v neprázdném úplném metrickém prostoru existuje pro danou kontrakci právě jeden pevný bod.

Znění věty

Nechť $(P,d)\,$ je neprázdný úplný metrický prostor a $A:P\to P$ je kontrakce na $P\,$. Pak existuje právě jeden prvek $x\in P$ takový, že $Ax=x\,$.

Důkaz

$A\,$ je kontrakce, existuje tedy $\alpha \in [0,1)$ takové, že pro všechny $x,y\in P$ platí

$d(Ax,Ay)\leq \alpha d(x,y)$.

Zvolme libovolně $x_{0}\in P$. Dále sestrojme posloupnost zadanou rekurzí pro $n\in \mathbb {N}$ jako $x_{n}=Ax_{n-1}\,$. Nyní ukážeme, že tato posloupnost je Cauchyovská, tedy

$\forall \varepsilon >0\;\exists n_{0}\in \mathbb {N} \;\forall m,n\geq n_{0}\;:d(x_{m},x_{n})<\varepsilon$

Pro dané $\varepsilon \,$, $m\,$ a $n\,$ (bez újmy na obecnosti volíme $n\leq m$) hledáme $n_{0}(\varepsilon )$. Z trojúhelníkové nerovnosti pro metriku plyne

$d(x_{n},x_{m})\leq d(x_{n},x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+2})+\cdots +d(x_{m-1},x_{m})\leq$

dále z vlastnosti kontrakce a sečtením $m-n\,$ členů geometrické posloupnosti

$\leq d(x_{n},x_{n+1})+\alpha d(x_{n},x_{n+1})+\cdots +\alpha ^{m-n-1}d(x_{n},x_{n+1})=(1+\alpha +\cdots +\alpha ^{m-n-1})d(x_{n},x_{n+1})=$

$={\frac {1-\alpha ^{m-n}}{1-\alpha }}\alpha ^{n}d(x_{0},x_{1})\leq {\frac {\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x_{0},x_{1})$

Limita posledního výrazu pro $n\to \infty$ je nula, pro každé $\varepsilon$ tedy existuje $n_{0}\,$, že

$d(x_{n},x_{m})\leq {\frac {\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x_{0},x_{1})<\varepsilon$

a posloupnost $x_{n}\,$ je tedy Cauchyovská. Protože je metrický prostor $(P,d)\,$ úplný, Cauchyovská posloupnost $x_{n}\,$ konverguje k nějakému $x\in P$.

$x=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }Ax_{n-1}=$

z věty o limitě složené funkce (vnější funkce $A\,$ je spojitá, protože každá kontrakce je spojitá)

$=A\lim _{n\to \infty }x_{n-1}=Ax$

$x\,$ je tedy pevným bodem zobrazení $A\,$.

Zbývá ukázat, že $x\,$ je jediným pevným bodem. Ukážeme to sporem – předpokládejme, že existují pevné body $x,y\in P$ a $x\neq y$.

$d(x,y)=d(Ax,Ay)\leq \alpha d(x,y)$

protože $d(x,y)\,$ je kladné můžeme obě strany krátit a zbude

$1\leq \alpha$,

což je spor, protože $\alpha \in [0,1)$.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Banachova věta o pevném bodě na Wikimedia Commons

Portály: Matematika