Konečné těleso

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Konečné těleso (též Galoisovo těleso na počest Évarista Galoise, obvykle značeno ) je v matematice, přesněji v abstraktní algebře, označení pro takové těleso, které má konečný počet prvků.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Počet prvků konečného tělesa je roven , kde je prvočíslo a je kladné přirozené číslo.
  • Charakteristika tělesa je rovna právě prvočíslu .
  • Konečná tělesa jsou komutativní (Wedderburnova věta).
  • Konečná tělesa lze klasifikovat podle velikosti; platí totiž, že až na izomorfismus existuje vždy jen jediné konečné těleso o daném počtu prvků.
  • Žádné konečné těleso není algebraicky uzavřené neboť označíme-li prvky konečného tělesa po řadě , můžeme zkonstruovat mnohočlen, který je zřejmě stupně alespoň 1 a přitom žádný z není jeho kořenem.

Reprezentace[editovat | editovat zdroj]

jsou celá čísla modulo dané prvočíslo neboli . Typická reprezentace Galoisova tělesa jsou polynomy nad modulo definiční polynom stupně . Těleso tímto způsobem dostaneme právě když je definiční polynom ireducibilní.

Ne vždy je x primitivním prvkem tělesa (generátorem multiplikativní grupy). Například pro GF(32) při definičním polynomu x2+1 generuje pouze polovinu prvků a jako generátor je potřeba vzít x+1. Při definičním polynomu x2+x-1 ale x stačí.

Využití[editovat | editovat zdroj]

Konečná tělesa jsou důležitým nástrojem mimo jiné teorie čísel, algebraické geometrie a kryptografie.

Využití v kódování[editovat | editovat zdroj]

V kódování jsou nejčastěji používána . V takovém případě je používán izomorfismus mezi číslem dle jeho bitového zápisu na polynomy nad bity tak, že bit řádu určuje koeficient u . Pozor, ač jsou při různé volbě definičního polynomu odpovídající tělesa isomorfní, kódování dává různé výsledky v závislosti na volbě definičního polynomu. Při výpočtech nad sčítání odpovídá bitový xor. Pro násobení je nejjednodušší vytvořit si tabulky logaritmů a exponentů primitivního prvku tělesa resp. v číselném pohledu . Tabulky logaritmů vytváříme na základě tabulky exponentů. Tabulku exponentů vyplňujeme postupně. Je-li reprezentace , pak reprezentaci dostaneme buď jako , pokud je nebo pomocí xor s číslem odpovídajícím definičnímu polynomu (pokud ). Máme-li jak tabulky logaritmů, tak tabulky mocnin primitivního prvku, můžeme násobení počítat (pro nenulové činitele ) pomocí . Je-li jakýkoli činitel nulový, je samozřejmě i součin nulový.