Ortogonální matice

Vektory lze otáčet (vlevo) nebo zrcadlit (vpravo) vynásobením ortogonální maticí ${\boldsymbol {Q}}$. Délka vektorů a jimi sevřený úhel zůstávají zachovány.

Ortogonální maticí (někdy také ortonormální) se v lineární algebře nazývá každá reálná čtvercová matice, jejíž sloupce tvoří ortonormální bázi vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu. Analogický termín pro komplexní matice je unitární matice.

Inverzní matice k ortogonální matici se shoduje s její transpozicí.

Ortogonální matice odpovídají shodným zobrazením v euklidovském prostoru, neboli rotacím, a zrcadlením.

Ortogonální matice se používají například při numerickém řešení soustav lineárních rovnic nebo problémů s vlastními čísly.

Ortogonální matice s determinantem hodnoty 1 se nazývají speciální ortogonální matice.

Množina všech ortogonálních matic daného řádu tvoří tzv. ortogonální grupu. Podobně speciální ortogonální matice tvoří speciální ortogonální grupu.

Definice

Reálná čtvercová matice ${\boldsymbol {Q}}$ se nazývá ortogonální, pokud součin s její transponovanou maticí ${\boldsymbol {Q}}^{\mathrm {T} }$ dává jednotkovou matici $\mathbf {I}$, neboli:

${\boldsymbol {Q}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {Q}}=\mathbf {I}$

Pokud se sloupce matice ${\boldsymbol {Q}}$ označí ${\boldsymbol {q}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {q}}_{n}$, pak lze uvedenou podmínku ekvivalentně vyjádřit pomocí standardního skalárního součinu:

$\langle {\boldsymbol {q}}_{i},{\boldsymbol {q}}_{j}\rangle ={\boldsymbol {q}}_{i}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {q}}_{j}={\begin{cases}1&{\text{pro}}~i=j\\0&{\text{jinak}}\end{cases}}$

Sloupce ortogonální matice proto tvoří ortonormální bázi prostoru $\mathbb {R} ^{n}$.

Aby sloupce matice tvořily ortonormální bázi, nestačí jen, aby byly vzájemně ortogonální (kolmé); musejí být také standardizované, tj. mít jednotkovou délku.

Konkrétní ukázky

• Jednotková matice $\mathbf {I} _{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$ odpovídající identitě v rovině je ortogonální, protože pro ni platí: $\mathbf {I} _{2}^{\mathrm {T} }\mathbf {I} _{2}=\mathbf {I} _{2}$.

• Matice ${\boldsymbol {Q}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ je ortogonální, neboť:

${\boldsymbol {Q}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {Q}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\cdot 0+1\cdot 1&0\cdot 1+1\cdot 0\\1\cdot 0+0\cdot 1&1\cdot 1+0\cdot 0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=\mathbf {I}$

Uvedená matice odpovídá osové souměrnosti podle osy 1. a 3. kvadrantu.

• Matice ${\boldsymbol {Q}}={\frac {1}{5}}{\begin{pmatrix}3&4\\-4&3\end{pmatrix}}$ je ortogonální:

${\boldsymbol {Q}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {Q}}={\frac {1}{5}}{\begin{pmatrix}3&-4\\4&3\end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{5}}{\begin{pmatrix}3&4\\-4&3\end{pmatrix}}={\frac {1}{25}}{\begin{pmatrix}9+16&12-12\\12-12&16+9\end{pmatrix}}={\frac {1}{25}}{\begin{pmatrix}25&0\\0&25\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=\mathbf {I}$

Dále jsou uvedeny ukázky malých ortogonálních matic a jejich geometrických interpretací:

• ${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}$ – osová souměrnost podle osy $x$
• ${\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}$ – permutace souřadnicových os

Obecné ukázky

• Permutační matice, tj. matice, ve kterých je právě jeden prvek v každém řádku i každém sloupci roven jedné a všechny ostatní prvky jsou nulové, jsou ortogonální. Značí-li ${\boldsymbol {P}}_{\pi }$ permutační matici odpovídající permutaci $\pi$, pak platí:

${\boldsymbol {P}}_{\pi }^{T}{\boldsymbol {P}}_{\pi }={\boldsymbol {P}}_{\pi ^{-1}}{\boldsymbol {P}}_{\pi }={\boldsymbol {P}}_{\pi ^{-1}\circ \pi }={\boldsymbol {P}}_{\mathrm {id} }=\mathbf {I}$,

protože transpozice permutační matice se shoduje s permutační maticí k permutaci inverzní. Součin permutačních matic odpovídá skládání permutací a v tomto složení jsou všechny záměny vyvolané permutací $\pi$ následně vráceny její inverzí $\pi ^{-1}$.

• Zobecnění permutačních matic na matice, ve kterých je právě jeden prvek v každém řádku i sloupci roven 1 nebo -1, a všechny ostatní prvky jsou nulové, tvoří množinu všech celočíselných ortogonálních matic.^[zdroj?]

• Rotační matice

${\boldsymbol {R}}_{\alpha }={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}$

jsou matice, které popisují rotaci kolem počátku souřadnic v euklidovské rovině o úhel $\alpha$. Tyto matice jsou ortogonální, protože:

${\boldsymbol {R}}_{\alpha }^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {R}}_{\alpha }={\begin{pmatrix}\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha &-\cos \alpha \sin \alpha +\sin \alpha \cos \alpha \\-\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha &\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha \end{pmatrix}}=\mathbf {I}$

Vlastnosti ortogonální matice

Stejným způsobem, jako bylo ze vztahu ${\boldsymbol {Q}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {Q}}=\mathbf {I}$ odvozeno, že sloupce ortogonální matice tvoří ortonormální bázi prostoru $\mathbb {R} ^{n}$, vyplývá ze součinu ${\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {Q}}^{\mathrm {T} }=\mathbf {I}$, že i řádky tvoří ortonormální bázi $\mathbb {R} ^{n}$. Matice ${\boldsymbol {Q}}$ a ${\boldsymbol {Q}}^{\mathrm {T} }$ se obecně nemusejí shodovat, a proto může jít v těchto případech o odlišné ortonormální báze.

Inverzní matice

Ortogonální matice ${\boldsymbol {Q}}$ je vždy regulární protože její řádky i sloupce jsou lineárně nezávislé. Matice inverzní k ortogonální matici je rovna její transpozici, neboli:

${\boldsymbol {Q}}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {Q}}^{-1}$.

Matice inverzní k matici ${\boldsymbol {Q}}$ je právě taková matice ${\boldsymbol {Q}}^{-1}$, pro níž platí:

${\boldsymbol {QQ}}^{-1}={\boldsymbol {Q}}^{-1}{\boldsymbol {Q}}=\mathbf {I}$

Z druhé rovnosti vyplývá, že transpozice ortogonální matice je také ortogonální. Platí i obrácená implikace, neboli každá matice ${\boldsymbol {Q}}$, jejíž transpozice se shoduje a maticí k ní inverzní, je ortogonální, protože pak platí:

${\boldsymbol {Q}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {Q}}^{-1}{\boldsymbol {Q}}=\mathbf {I}$

Zachování délek a úhlů

Je-li vektor ${\boldsymbol {u}}\in \mathbb {R} ^{n}$ vynásoben ortogonální maticí ${\boldsymbol {Q}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$, potom se délka (čili euklidovská norma) vektoru nezmění:

$\|{\boldsymbol {Qu}}\|_{2}=\|{\boldsymbol {u}}\|_{2}$ .

Standardní skalární součin dvou vektorů ${\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ je také invariantní vzhledem k součinu s ortogonální maticí ${\boldsymbol {Q}}$:

$\left\langle {\boldsymbol {Qu}},{\boldsymbol {Qv}}\right\rangle =\left\langle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\right\rangle$

V důsledku je zachován i úhel mezi oběma vektory. Obě vlastnosti vyplývají přímo z definice standardního skalárního součinu. Díky zachování délek a úhlů je lineární zobrazení $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ dané předpisem $f({\boldsymbol {u}})={\boldsymbol {Qu}}$ shodné zobrazení v euklidovském prostoru $\mathbb {R} ^{n}$. Naopak matice lineárního zobrazení je ortogonální vzhledem ke standardnímu bázi pro každé shodné lineární zobrazení v euklidovském prostoru.

Determinant

Absolutní hodnota determinantu ortogonální matice ${\boldsymbol {Q}}$ je rovna jedné:

$|\det {\boldsymbol {Q}}|=1$

Tento fakt vyplývá přímo z determinantu součinu matic:

$(\det {\boldsymbol {Q}})^{2}=\det {\boldsymbol {Q}}\cdot \det {\boldsymbol {Q}}=\det {\boldsymbol {Q}}^{\mathrm {T} }\cdot \det {\boldsymbol {Q}}=\det({\boldsymbol {Q}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {Q}})=\det \mathbf {I} =1$

Jinými slovy, determinant ortogonální matice může nabývat pouze hodnot jedna nebo mínus jedna. Existují však matice, které nejsou ortogonální a přitom mají determinant roven plus nebo mínus jedné, například unimodulární matice. Ortogonální matice, jejichž determinant je roven jedné, odpovídají rotacím a nazývají se speciální ortogonální matice. Ortogonální matice, jejichž determinant je roven mínus jedné, představují rotační zrcadlení.

Vlastní čísla

Reálná ortogonální matice ${\boldsymbol {Q}}$ může mít komplexní vlastní čísla. Jejich absolutní hodnota je rovna jedné, a proto je lze zapsat ve tvaru:

$\lambda =e^{it}$

pro $t\in \mathbb {R}$. Je-li ${\boldsymbol {u}}$ vlastní vektor příslušný k $\lambda$, potom díky zachování délek a linearitě normy platí:

$\|{\boldsymbol {u}}\|_{2}=\|{\boldsymbol {Qu}}\|_{2}=\|\lambda {\boldsymbol {u}}\|_{2}=|\lambda |\,\|{\boldsymbol {u}}\|_{2}$

z čehož vyplývá $|\lambda |=1$. Reálná vlastní čísla ortogonální matice mohou být jen $\pm 1$. Komplexní vlastní čísla se vždy objevují v komplexně sdružených dvojicích, tj. $\lambda =e^{it}$ a ${\bar {\lambda }}=e^{-it}$, protože:

${\boldsymbol {Q}}{\bar {\boldsymbol {u}}}={\overline {\boldsymbol {Qu}}}={\overline {\lambda {\boldsymbol {u}}}}={\bar {\lambda }}{\bar {\boldsymbol {u}}}$

Ortogonální matice ${\boldsymbol {Q}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ lichého řádu $n$ má proto alespoň jedno vlastní číslo reálné.

Diagonalizovatelnost

Ortogonální matice ${\boldsymbol {Q}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ je normální, neboli splňuje vztah:

${\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {Q}}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {Q}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {Q}}$

Lze ji proto unitárně diagonalizovat nad komplexními čísly. Podle spektrální věty existuje unitární matice ${\boldsymbol {U}}\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ taková, že platí:

${\boldsymbol {U}}^{-1}{\boldsymbol {QU}}={\boldsymbol {D}}$

Matice ${\boldsymbol {D}}\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ je diagonální s vlastními čísly matice ${\boldsymbol {Q}}$ na diagonále. Sloupce matice ${\boldsymbol {U}}$ jsou pak tvořeny dvojicemi ortonormálních vlastních vektorů matice ${\boldsymbol {Q}}$. To znamená, že vlastní prostory ortogonální matice jsou také po dvojicích ortogonální.

Ortogonální matice ${\boldsymbol {Q}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ nemusí být diagonalizovatelná nad reálnými čísly. Existuje však ortogonální matice ${\boldsymbol {V}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ taková, že součin

${\boldsymbol {V}}^{-1}{\boldsymbol {QV}}={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {D}}_{1}&&{\boldsymbol {0}}\\&\ddots &\\{\boldsymbol {0}}&&{\boldsymbol {D}}_{s}\end{pmatrix}}$

je bloková diagonální matice, ve které jsou jednotlivé bloky buď rotačními maticemi velikosti $2\times 2$ nebo jde o jednoprvkové bloky obsahující $\pm 1$. Uvedená reprezentace se také nazývá normální forma ortogonální matice.

Norma

Spektrální norma ortogonální matice ${\boldsymbol {Q}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ je určena vztahem:

$\|{\boldsymbol {Q}}\|_{2}=\max _{\|{\boldsymbol {u}}\|_{2}=1}\|{\boldsymbol {Qu}}\|_{2}=\max _{\|{\boldsymbol {u}}\|_{2}=1}\|{\boldsymbol {u}}\|_{2}=1$

Pro Frobeniovu normu určenou Frobeniovým skalárním součinem platí:

$\|{\boldsymbol {Q}}\|_{F}={\sqrt {\langle {\boldsymbol {Q}},{\boldsymbol {Q}}\rangle _{F}}}={\sqrt {\langle \mathbf {I} ,\mathbf {I} \rangle _{F}}}={\sqrt {n}}$

Součin s ortogonální maticí zachovává spektrální normu i Frobeniovu normu libovolné matice ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$, protože platí:

$\|{\boldsymbol {QA}}\|_{2}=\max _{\|{\boldsymbol {u}}\|_{2}=1}\|{\boldsymbol {QAu}}\|_{2}=\max _{\|{\boldsymbol {u}}\|_{2}=1}\|{\boldsymbol {Au}}\|_{2}=\|{\boldsymbol {A}}\|_{2}$

a také:

$\|{\boldsymbol {QA}}\|_{F}={\sqrt {\langle {\boldsymbol {QA}},{\boldsymbol {QA}}\rangle _{F}}}={\sqrt {\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{F}}}=\|{\boldsymbol {A}}\|_{F}$

Podmíněnost matice se vzhledem k uvedeným maticovým normám zachovává i po součinu s ortogonální maticí.

Grupa ortogonálních matic

Podrobnější informace naleznete v článku Ortogonální grupa.

Regulární matice pevného řádu se součinem matic tvoří obecnou lineární grupu $\mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ s jednotkovou maticí $\mathbf {I}$ v roli neutrálního prvku. Ortogonální matice tvoří podgrupu obecné lineární grupy, nazvanou ortogonální grupa $\mathrm {O} (n)$. Součin dvou ortogonálních matic ${\boldsymbol {P}},{\boldsymbol {Q}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ je opět ortogonální, protože platí:

$({\boldsymbol {PQ}})^{\mathrm {T} }({\boldsymbol {PQ}})={\boldsymbol {Q}}^{\mathrm {T} }({\boldsymbol {P}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {P}}){\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {Q}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {Q}}=\mathbf {I}$

Inverzní matice k ortogonální matici ${\boldsymbol {Q}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ je také ortogonální, protože platí:

$({\boldsymbol {Q}}^{-1})^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {Q}}^{-1}=({\boldsymbol {Q}}^{-1})^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {Q}}^{\mathrm {T} }=({\boldsymbol {QQ}}^{-1})^{\mathrm {T} }=\mathbf {I} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {I}$

Speciální ortogonální matice, což jsou rotační matice, neboli ortogonální matice s determinantem rovným jedné, tvoří podgrupu ortogonální grupy, tzv. speciální ortogonální grupu $\mathrm {SO} (n)$, též nazývanou rotační grupa. Jde o speciální případ Lieovy grupy.

Použití

Numerické záležitosti

Numerická matematika využívá řadu přirozených vlastností ortogonálních matic pro numerickou lineární algebru. Například je často žádoucí získat ortonormální bázi daného prostoru nebo provést přechod mezi ortogonálními bázemi; obě tyto úlohy mají řešení ve tvaru ortogonálních matic. Přínosné pro numerickou stabilitu výpočtu zpravidla bývá, mají-li matice determinant ±1, či popřípadě všechna vlastní čísla absolutní hodnoty 1. Mimo jiné pak platí, že podmíněnost matice je rovna 1 (což je nejmenší možná hodnota), a tak se chyby při násobení ortogonální maticí nezvětšují. Z uvedeného důvodu se v řadě algoritmů používají ortogonální matice, jako jsou Householderovy odrazy a Givensovy rotace. Dále je užitečné, že ortogonální matice je nejen regulární, ale její inverze se získá pouhou výměnou indexů.

Soustavy lineárních rovnic

Řešení soustavy lineárních rovnic tvaru

${\boldsymbol {Qx}}={\boldsymbol {b}}$

s ortogonální maticí ${\boldsymbol {Q}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ a vektorem pravých stran ${\boldsymbol {b}}\in \mathbb {R} ^{n}$ lze přímo vyjádřit:

${\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {Q}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {b}}$

Pro výpočet vektoru řešení ${\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$ stačí jen provést součin matice s vektorem, což má výpočetní složitost pořádek $O(n^{2})$. Pro srovnání, řešení obecných soustav lineárních rovnic například pomocí Gaussovy eliminace má složitost $O(n^{3})$. Uvedené vlastnosti se využívají například v (reálné) diskrétní Fourierově transformaci a diskrétní kosinové transformaci.

Maticové rozklady

Ortogonálních matice se využívají v QR rozkladu, což je rozklad dané matice ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ na součin:

${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {QR}}$

ortogonální matice ${\boldsymbol {Q}}\in \mathbb {R} ^{m\times m}$ s horní trojúhelníkovou matrici ${\boldsymbol {R}}\in \mathbb {R} ^{m\times n}$. Konstrukci matice ${\boldsymbol {Q}}$ lze provést pomocí Givensových rotací, které odpovídají rotacím, a Householderových transformací, které odpovídají zrcadlením. QR rozklady se používají v numerických metodách k řešení špatně podmíněných, přeurčených nebo nedostatečně určených soustav lineárních rovnic. Další oblastí použití je řešení problémů s vlastními čísly pomocí QR algoritmu.

Pomocí singulárního rozkladu může být každá reálná matice ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ rozložena na součin:

${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {U\Sigma V}}^{\mathrm {T} }$

ortogonální matice ${\boldsymbol {U}}\in \mathbb {R} ^{m\times m}$, diagonální matice ${\boldsymbol {\Sigma }}\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ a transpozici další ortogonální matice ${\boldsymbol {V}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$. Diagonální prvky matice ${\boldsymbol {\Sigma }}$ jsou singulární hodnoty matice ${\boldsymbol {A}}$. Singulární rozklad se používá například v geometrii pro transformaci hlavní osy kvadrik a ve statistice pro analýzu hlavních komponent vícerozměrných datových souborů.

Pomocí polárního rozkladu lze každou čtvercovou matici ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ vyjádřit jako součin

${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {QP}}$

ortogonální matice ${\boldsymbol {Q}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ a pozitivní semidefinitní symetrické matice ${\boldsymbol {P}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$.

Ortogonální zobrazení

Je-li $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ reálný unitární prostor dimenze $n$, potom lze každé lineární zobrazení $f\colon V\to V$ vyjádřit vzhledem k ortonormální bázi $\{{\boldsymbol {e}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {e}}_{n}\}$ prostoru $V$ pomocí matice zobrazení ${\boldsymbol {A}}_{f}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ takové, že platí:

$f({\boldsymbol {e}}_{j})=a_{1j}{\boldsymbol {e}}_{1}+\dotsb +a_{nj}{\boldsymbol {e}}_{n}$ pro $j=1,\dotsc ,n$.

Matice zobrazení ${\boldsymbol {A}}_{f}$ je ortogonální, právě když $f$ je ortogonální zobrazení. Jsou-li totiž ${\boldsymbol {x}}$ a ${\boldsymbol {y}}$ vektory souřadnic vektorů ${\boldsymbol {u}}$ a ${\boldsymbol {v}}$ vzhledem k uvedené bázi, neboli ${\boldsymbol {u}}=x_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+\dotsb +x_{n}{\boldsymbol {e}}_{n}$ a ${\boldsymbol {v}}=y_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+\dotsb +y_{n}{\boldsymbol {e}}_{n}$, potom platí:

$\langle f({\boldsymbol {u}}),f({\boldsymbol {v}})\rangle =({\boldsymbol {A}}_{f}{\boldsymbol {x}})^{\mathrm {T} }({\boldsymbol {A}}_{f}{\boldsymbol {y}})={\boldsymbol {x}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}_{f}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}_{f}{\boldsymbol {y}}={\boldsymbol {x}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {y}}=\langle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\rangle$

Terminologie

V současné literatuře z oblasti lineární algebry a maticových výpočtů se setkáváme převážně s názvem ortogonální matice, navzdory tomu, že její sloupce, resp. řádky, jsou ortonormální.

Ve starší literatuře, nebo literatuře z jiných oborů (kde se s těmito maticemi setkáváme v nejrůznějších aplikacích) se můžeme z výše uvedeného důvodu setkat i názvem ortonormální matice.

Odkazy

Reference

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Orthogonale Matrix na německé Wikipedii a Orthogonal matrix na anglické Wikipedii.

Literatura

• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
• MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

• Ortogonalita, Ortonormalita
• QR rozklad
• Gramova-Schmidtova ortogonalizace
• Ortogonální grupa

Portály: Matematika