Analýza hlavních komponent

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Analýza hlavních komponent (Principal Component Analysis, PCA) je v teorii signálu transformace sloužící k dekorelaci dat. Často se používá ke snížení dimenze dat s co nejmenší ztrátou informace. PCA je možno najít také jako Karhunen-Loèveho transformaci, Hotellingovu transformaci, nebo v jako singulární rozklad (SVD; v lineární algebře).

Z následujícího vzorce je vidět, že PCA je jen přepsáním vstupu do jiné souřadné soustavy:

kde X je centrovaná matice n x d se vstupními d-rozměrnými daty v n řádcích, Y obdobná matice výstupních dat, P je d x d matice vlastních vektorů kovarianční matice splňující vztah , kde je diagonální matice obsahující na diagonále vlastní čísla a matice vlastních vektorů je ortonormální, tj. , kde je jednotková matice dimenze .

Vlastní vektory (sloupce matice P) tvoří onu novou souřadnou soustavu. Centrování matice X dosáhneme odečtením příslušného výběrového průměru od každého sloupce.

Odvození[editovat | editovat zdroj]

Matice Y je zřejmě také centrovaná, t.j., aritmetický průměr každého jejího sloupce je 0.

Spočítáme, jak musí vypadat kovarianční matice nových dat Y:

Vzhledem k tomu, že matice je diagonální,

vidíme, že sloupce matice Y jsou nekorelované a výběrový rozptyl každého sloupce se rovná příslušnému vlastnímu číslu.

Použití[editovat | editovat zdroj]

Seřadíme-li vlastní vektory v P podle velikosti vlastních čísel , budeme dostávat složky v Y setříděné podle rozptylu. Pokud chceme snížit dimenzi dat, stačí z Y vzít jen tolik prvních složek kolik uznáme za vhodné. Vybírání komponenty s největším rozptylem nemusí být vždy nejlepší. Například pokud máme rozpoznávat třídy, které se liší právě ve složkách s malým rozptylem, které tímto postupem zahodíme.

Rozpoznávání[editovat | editovat zdroj]

V rozpoznávání slouží PCA jako jedna z tzv. Feature Extraction metod (extrakce rysů). Používají ji například kriminalisté pro rozpoznávání obličejů.

Komprese[editovat | editovat zdroj]

Jednoduchá komprese barevného nebo multispektrálního obrazu. Využívá vysoké korelace mezi jednotlivými spektrálními kanály a převede obrázek pomocí PCA na jednu nebo několik málo složek s většinou informace.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]