Reálná antisymetrická matice je jednoznačně určena svými prvky pod diagonálou. V matematice se antisymetrickou maticí rozumí čtvercová matice , jejíž transpozicí se pouze změní znaménko u všech jejích prvků.
Antisymetrické matice se používají v lineární algebře mimo jiné k charakterizaci antisymetrických bilineárních forem .
S maticemi úzce souvisí tenzory druhého řádu, které jsou důležitým matematickým nástrojem v přírodních vědách a inženýrství, zejména v mechanice kontinua.
Čtvercová matice
A
∈
T
n
×
n
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in T^{n\times n}}
tělesem
K
{\displaystyle K}
antisymetrická , pokud pro ni platí:
A
T
=
−
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }=-{\boldsymbol {A}}}
Jinými slovy, její prvky na pozicích souměrných podle diagonály jsou navzájem opačné, čili splňují:
a
i
j
=
−
a
j
i
{\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}}
pro všechny dvojice indexů
i
,
j
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle i,j\in \{1,\dots ,n\}}
Reálná matice
A
=
(
0
7
23
−
7
0
−
4
−
23
4
0
)
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}0&7&23\\-7&0&-4\\-23&4&0\end{pmatrix}}}
A
T
=
(
0
−
7
−
23
7
0
4
23
−
4
0
)
=
−
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }={\begin{pmatrix}0&-7&-23\\7&0&4\\23&-4&0\end{pmatrix}}=-{\boldsymbol {A}}}
Antisymetrické matice nad tělesy charakteristiky různé od 2 mají na diagonále nuly, a proto je nulová i jejich stopa . Součet dvou antisymetrických matic stejného řádu je antisymetrická matice:
(
A
+
B
)
T
=
A
T
+
B
T
=
−
A
−
B
=
−
(
A
+
B
)
{\displaystyle ({\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }+{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {T} }=-{\boldsymbol {A}}-{\boldsymbol {B}}=-({\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}})}
Podobně skalární násobek antisymetrické matice je antisymetrická matice:
(
c
A
)
T
=
c
A
T
=
c
(
−
A
)
=
−
(
c
A
)
{\displaystyle (c{\boldsymbol {A}})^{\mathrm {T} }=c{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }=c(-{\boldsymbol {A}})=-(c{\boldsymbol {A}})}
Nulová matice také antisymetrická, a proto množina antisymetrických matic řádu
n
{\displaystyle n}
vektorový podprostor
Skew
n
=
{
A
∈
T
n
×
n
:
A
T
=
−
A
}
{\displaystyle \operatorname {Skew} _{n}=\{{\boldsymbol {A}}\in T^{n\times n}\colon {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }=-{\boldsymbol {A}}\}}
prostoru čtvercových matic
T
n
×
n
{\displaystyle T^{n\times n}}
Pokud má těleso
T
{\displaystyle T}
dimenze prostoru
Skew
n
{\displaystyle \operatorname {Skew} _{n}}
n
2
−
n
2
{\displaystyle {\tfrac {n^{2}-n}{2}}}
bázi lze vytvořit z rozdílů matic
E
i
j
−
E
j
i
{\displaystyle \mathbf {E} _{ij}-\mathbf {E} _{ji}}
1
≤
i
<
j
≤
n
{\displaystyle 1\leq i<j\leq n}
E
i
j
{\displaystyle \mathbf {E} _{ij}}
T
n
×
n
{\displaystyle T^{n\times n}}
e
i
j
=
1
{\displaystyle \mathbf {e} _{ij}=1}
Nad tělesy charakteristiky různé od 2 lze libovolnou čtvercovou matici
M
∈
T
n
×
n
{\displaystyle {\boldsymbol {M}}\in T^{n\times n}}
M
=
A
+
B
{\displaystyle {\boldsymbol {M}}={\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}}}
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
B
{\displaystyle {\boldsymbol {B}}}
symetrická :
A
=
1
2
(
M
−
M
T
)
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\tfrac {1}{2}}({\boldsymbol {M}}-{\boldsymbol {M}}^{\mathrm {T} })}
B
=
1
2
(
M
+
M
T
)
{\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\tfrac {1}{2}}({\boldsymbol {M}}+{\boldsymbol {M}}^{\mathrm {T} })}
Symetrické matice řádu
n
{\displaystyle n}
Symm
n
{\displaystyle \operatorname {Symm} _{n}}
n
2
+
n
2
{\displaystyle {\tfrac {n^{2}+n}{2}}}
T
n
×
n
{\displaystyle T^{n\times n}}
n
2
{\displaystyle n^{2}}
direktní součet
T
n
×
n
=
Skew
n
⊕
Symm
n
{\displaystyle T^{n\times n}=\operatorname {Skew} _{n}\oplus \operatorname {Symm} _{n}}
prostorů antisymetrických a symetrických matic.
Antisymetrické matice mohou být regulární , např.
(
0
1
−
1
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}
singulární , např. nulová matice .
Analýzou Gaussovy eliminace lze ukázat, že matice
I
+
A
{\displaystyle \mathbf {I} +{\boldsymbol {A}}}
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
I
{\displaystyle \mathbf {I} }
jednotkovou matici odpovídajícího řádu.
Pro determinant antisymetrické matice
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
det
A
=
det
(
A
T
)
=
det
(
−
A
)
=
(
−
1
)
n
det
A
{\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}=\det \left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }\right)=\det(-{\boldsymbol {A}})=(-1)^{n}\det {\boldsymbol {A}}}
Reálné antisymetrické matice lichého řádu mají proto determinant nulový, čili jsou singulární. Tento fakt se nazývá Jacobiho věta podle Carla Gustava Jacobiho .
Cayley dokázal, že determinant antisymetrických matic sudého řádu lze vyjádřit jako druhou mocninu polynomu v prvcích dané matice. Tento polynom se nazývá Pfaffian a značí
Pf
{\displaystyle \operatorname {Pf} }
det
A
=
(
Pf
A
)
2
{\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}=(\operatorname {Pf} {\boldsymbol {A}})^{2}}
Z uvedeného vyplývá, že determinant reálné antisymetrické matice je nezáporný:
det
A
≥
0
{\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}\geq 0}
Mnoho členů v rozvoji determinantu antisymetrické matice se navzájem odečte, a tak počet zbývajících členů, značený
s
(
n
)
{\displaystyle s(n)}
n
!
{\displaystyle n!}
n
{\displaystyle n}
s
(
n
)
{\displaystyle s(n)}
Sylvester a Pfaff , a je o ní známo, že začíná čísly:[ 1]
1, 0, 1, 0, 6, 0, 120, 0, 5250, 0, 395010, 0, … a že je zakódována v exponenciální vytvořující funkci :
∑
n
=
0
∞
s
(
n
)
n
!
x
n
=
(
1
−
x
2
)
−
1
4
exp
(
x
2
4
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {s(n)}{n!}}x^{n}=\left(1-x^{2}\right)^{-{\frac {1}{4}}}\exp \left({\frac {x^{2}}{4}}\right)}
Pro sudá
n
{\displaystyle n}
s
(
n
)
{\displaystyle s(n)}
s
(
n
)
=
π
−
1
2
2
3
4
Γ
(
3
4
)
(
n
e
)
n
−
1
4
(
1
+
O
(
1
n
)
)
{\displaystyle s(n)=\pi ^{-{\frac {1}{2}}}2^{\frac {3}{4}}\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)\left({\frac {n}{e}}\right)^{n-{\frac {1}{4}}}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right)}
Počet kladných a záporných členů v rozvoji determinantu antisymetrické matice sudého řádu je přibližně poloviční z celkového počtu nenulových členů. S rostoucím řádem matice se zvyšuje i rozdíl mezi počtem kladných a záporných členů (někdy převládají kladné, jindy záporné).
Každá reálná antisymetrická matice
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
B
{\displaystyle {\boldsymbol {B}}}
ortogonální vzhledem k Frobeniovu skalárnímu součinu na
R
n
×
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}}
Skew
n
{\displaystyle \operatorname {Skew} _{n}}
Symm
n
{\displaystyle \operatorname {Symm} _{n}}
ortogonálními doplňky v
R
n
×
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}}
Matice
A
∈
R
n
×
n
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}
x
,
y
∈
R
n
{\displaystyle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\in \mathbb {R} ^{n}}
⟨
A
x
,
y
⟩
=
−
⟨
x
,
A
y
⟩
{\displaystyle \langle {\boldsymbol {Ax}},{\boldsymbol {y}}\rangle =-\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {Ay}}\rangle }
přičemž
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
skalární součin na
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
Uvedená podmínka je ekvivalentní podmínce:
⟨
x
,
A
x
⟩
=
0
{\displaystyle \langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {Ax}}\rangle =0}
x
∈
R
n
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}
Dopředná implikace vyplývá bezprostředně z dosazení
y
=
x
{\displaystyle {\boldsymbol {y}}={\boldsymbol {x}}}
0
=
⟨
x
+
y
,
A
(
x
+
y
)
⟩
=
⟨
x
,
A
x
⟩
+
⟨
x
,
A
y
⟩
+
⟨
y
,
A
x
⟩
+
⟨
y
,
A
y
⟩
=
⟨
x
,
A
y
⟩
+
⟨
y
,
A
x
⟩
=
⟨
x
,
A
y
⟩
+
⟨
A
x
,
y
⟩
{\displaystyle 0=\langle {\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {y}})\rangle =\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {Ax}}\rangle +\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {Ay}}\rangle +\langle {\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {Ax}}\rangle +\langle {\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {Ay}}\rangle =\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {Ay}}\rangle +\langle {\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {Ax}}\rangle =\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {Ay}}\rangle +\langle {\boldsymbol {Ax}},{\boldsymbol {y}}\rangle }
Uvedená definice antisymetrie matice vede ke zobecnění pro lineární zobrazení na prostoru se skalárním součinem: Lineární zobrazení
f
:
V
→
V
{\displaystyle f:V\to V}
u
∈
V
{\displaystyle {\boldsymbol {u}}\in V}
⟨
u
,
f
(
u
)
⟩
=
0
{\displaystyle \langle {\boldsymbol {u}},f({\boldsymbol {u}})\rangle =0}
Antisymetrické matice řádu 3 lze použít k reprezentaci vektorového součinu pomocí maticového součinu . Pro vektory
a
=
(
a
1
,
a
2
,
a
3
)
T
∈
R
3
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}=\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)^{\mathrm {T} }\in \mathbb {R} ^{3}}
b
=
(
b
1
,
b
2
,
b
3
)
T
∈
R
3
{\displaystyle {\boldsymbol {b}}=\left(b_{1},b_{2},b_{3}\right)^{\mathrm {T} }\in \mathbb {R} ^{3}}
[
a
]
×
=
(
0
−
a
3
a
2
a
3
0
−
a
1
−
a
2
a
1
0
)
{\displaystyle [{\boldsymbol {a}}]_{\times }={\begin{pmatrix}0&-a_{3}&a_{2}\\a_{3}&0&-a_{1}\\-a_{2}&a_{1}&0\end{pmatrix}}}
Vektorový součin lze pak vyjádřit výrazem:
a
×
b
=
[
a
]
×
b
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}=[{\boldsymbol {a}}]_{\times }{\boldsymbol {b}}}
Každá čtvercová matice
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
charakteristický polynom jako matice
A
T
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}
vlastní čísla . Čtvercová komplexní
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
podobná
A
T
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}
λ
{\displaystyle \lambda }
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
−
λ
{\displaystyle -\lambda }
−
A
{\displaystyle -{\boldsymbol {A}}}
±
λ
{\displaystyle \pm \lambda }
Podle spektrální věty jsou nenulová vlastní čísla reálné antisymetrická matice jsou ryze imaginární a tvoří dvojice
λ
1
i
,
−
λ
1
i
,
…
,
λ
r
i
,
−
λ
r
i
{\displaystyle \lambda _{1}{\mathrm {i} },-\lambda _{1}{\mathrm {i} },\ldots ,\lambda _{r}{\mathrm {i} },-\lambda _{r}{\mathrm {i} }}
λ
1
,
…
,
λ
r
{\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{r}}
Reálné antisymetrické matice jsou normální (komutují se svou hermitovskou transpozicí ), a proto jsou diagonalizovatelné pomocí unitárních matic . Protože vlastní čísla reálné antisymetrické matice jsou imaginární, nelze je diagonalizovat pomocí reálné unitární neboli ortogonální matice .
Každou antisymetrickou matici
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
ortogonální matice
Q
{\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}
blokově diagonálního tvaru:
Q
A
Q
T
=
(
0
λ
1
−
λ
1
0
⋱
0
λ
r
−
λ
r
0
0
⋱
0
)
{\displaystyle {\boldsymbol {QAQ}}^{\mathrm {T} }={\begin{pmatrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\\&&\ddots &\\&&&0&\lambda _{r}\\&&&-\lambda _{r}&0\\&&&&&0\\&&&&&&\ddots \\&&&&&&&0\end{pmatrix}}}
s nenulovými vlastními čísly
λ
1
i
,
…
,
−
λ
r
i
{\displaystyle \lambda _{1}{\mathrm {i} },\ldots ,-\lambda _{r}{\mathrm {i} }}
Obecně platí, že každou komplexní antisymetrickou matici lze převést do obdobného blokově diagonálního tvaru
U
A
U
T
{\displaystyle {\boldsymbol {UAU}}^{\mathrm {T} }}
U
{\displaystyle {\boldsymbol {U}}}
Druhá mocnina
A
2
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{2}}
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
negativně semidefinitní .
Antisymetrická forma
φ
{\displaystyle \varphi }
vektorovém prostoru
V
{\displaystyle {\boldsymbol {V}}}
tělesem
T
{\displaystyle T}
bilineární forma
B
:
V
×
V
→
T
{\displaystyle B:V\times V\to T}
taková, že pro všechna
u
,
v
∈
V
{\displaystyle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in V}
B
(
u
,
v
)
=
−
B
(
v
,
u
)
{\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=-B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}})}
Ve vektorovém prostoru nad tělesem charakteristiky 2 se antisymetrické formy shodují se symetrickými formy, protože každý prvek je svou vlastní aditivní inverzí.
Alternující forma je bilineární forma
B
{\displaystyle B}
V
{\displaystyle V}
B
(
v
,
v
)
=
0
{\displaystyle B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {v}})=0}
Nad tělesy charakteristiky různé od 2 se antisymetrické a alternující formy shodují, protože:
0
=
B
(
u
+
v
,
u
+
v
)
=
B
(
u
,
u
)
+
B
(
u
,
v
)
+
B
(
v
,
u
)
+
B
(
v
,
v
)
=
B
(
u
,
v
)
+
B
(
v
,
u
)
{\displaystyle 0=B({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})=B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {u}})+B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})+B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}})+B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {v}})=B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})+B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}})}
Bilineární formu
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
B
(
u
,
v
)
=
u
T
A
v
{\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})={\boldsymbol {u}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {Av}}}
bázi . Naopak, matice
A
∈
T
n
×
n
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in T^{n\times n}}
T
n
{\displaystyle T^{n}}
(
u
,
v
)
{\displaystyle ({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})}
u
T
A
v
{\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {Av}}}
V tomto článku byly použity překlady textů z článků Skew-symmetric matrix Schiefsymmetrische Matrix
BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra . 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1 HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky . 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5 OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online . 
![{\displaystyle [{\boldsymbol {a}}]_{\times }={\begin{pmatrix}0&-a_{3}&a_{2}\\a_{3}&0&-a_{1}\\-a_{2}&a_{1}&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/411b844a13fd7a3525dc01237b972b911b099d31)
![{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}=[{\boldsymbol {a}}]_{\times }{\boldsymbol {b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f720425267daa49e841e1069e12efd6793bd6854)
