Ortogonální doplněk roviny procházející počátkem je v prostoru
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
V matematice tvoří ortogonální doplněk množiny
M
{\displaystyle M}
kolmé . Značí se
M
⊥
{\displaystyle M^{\perp }}
Ortogonální doplněk se využívá v lineární algebře a funkcionální analýze . Má řadu aplikací, např. v teorii relativity.
Ortogonální doplněk množiny
M
{\displaystyle M}
vektorovém prostoru
V
{\displaystyle V}
skalárním součinem je množina
M
⊥
{\displaystyle M^{\perp }}
V
{\displaystyle V}
M
{\displaystyle M}
M
⊥
=
{
v
∈
V
:
∀
u
∈
M
:
⟨
v
,
u
⟩
=
0
}
{\displaystyle M^{\perp }=\{{\boldsymbol {v}}\in V:\forall {\boldsymbol {u}}\in M:\langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}}\rangle =0\}}
Ortogonální doplněk množiny
M
=
{
(
1
,
3
−
2
)
T
,
(
3
,
5
,
6
)
T
}
{\displaystyle M=\{(1,3-2)^{\mathrm {T} },(3,5,6)^{\mathrm {T} }\}}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
v
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}}
⟨
v
,
(
1
,
3
−
2
)
T
⟩
=
0
{\displaystyle \langle {\boldsymbol {v}},(1,3-2)^{\mathrm {T} }\rangle =0}
⟨
v
,
(
3
,
5
,
6
)
T
⟩
=
0
{\displaystyle \langle {\boldsymbol {v}},(3,5,6)^{\mathrm {T} }\rangle =0}
Souřadnice hledaných vektorů
v
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}}
soustavou lineárních rovnic :
v
1
+
3
v
2
−
2
v
3
=
0
3
v
1
+
5
v
2
+
6
v
3
=
0
{\displaystyle {\begin{array}{rcrcr}v_{1}&+&3v_{2}&-&2v_{3}&=&0\\3v_{1}&+&5v_{2}&+&6v_{3}&=&0\end{array}}}
neboli soustavou
A
v
=
0
{\displaystyle {\boldsymbol {Av}}={\boldsymbol {0}}}
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
M
{\displaystyle M}
Řešením soustavy neboli jádrem matice
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
M
{\displaystyle M}
M
⊥
=
ker
A
=
{
c
(
−
7
,
3
,
1
)
T
:
c
∈
R
}
{\displaystyle M^{\perp }=\operatorname {ker} {\boldsymbol {A}}=\{c(-7,3,1)^{\mathrm {T} }:c\in \mathbb {R} \}}
Geometricky lze doplněk
M
⊥
{\displaystyle M^{\perp }}
normálu k rovině
U
{\displaystyle U}
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
U
{\displaystyle U}
Jinými slovy,
M
⊥
{\displaystyle M^{\perp }}
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
U
⊥
{\displaystyle U^{\perp }}
řádkového prostoru
U
{\displaystyle U}
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
Pokud pro vektory
u
{\displaystyle {\boldsymbol {u}}}
v
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}}
V
{\displaystyle V}
tělesem
T
{\displaystyle T}
bilineární formou
B
{\displaystyle B}
B
(
u
,
v
)
=
0
{\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=0}
u
{\displaystyle {\boldsymbol {u}}}
ortogonální ) k
v
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}}
v
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}}
u
{\displaystyle {\boldsymbol {u}}}
M
{\displaystyle M}
V
{\displaystyle V}
W
⊥
{\displaystyle W^{\perp }}
W
⊥
=
{
v
∈
V
:
∀
u
∈
M
:
B
(
v
,
u
)
=
0
}
{\displaystyle W^{\perp }=\{{\boldsymbol {v}}\in V:\forall {\boldsymbol {u}}\in M:B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}})=0\}}
Analogicky lze definovat pravý ortogonální doplněk. Pro bilineární formu , splňující
∀
u
,
v
∈
V
:
B
(
u
,
v
)
=
0
⟹
B
(
v
,
u
)
=
0
{\displaystyle \forall {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in V:B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=0\implies B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}})=0}
B
{\displaystyle B}
Definici doplňku lze rozšířit pro bilineární formy na volném modulu nad komutativními okruhy a pro seskvilineární formy rozšířené tak, aby obsahovaly jakýkoli volný modul na komutativním okruhu s konjugací.
Ortogonální doplněk je podprostorem vektorového prostoru
V
{\displaystyle V}
Pokud
M
⊆
N
{\displaystyle M\subseteq N}
M
⊥
⊇
N
⊥
{\displaystyle M^{\perp }\supseteq N^{\perp }}
Doplněk
V
⊥
{\displaystyle V^{\perp }}
V
{\displaystyle V}
M
⊆
(
M
⊥
)
⊥
{\displaystyle M\subseteq (M^{\perp })^{\perp }}
Pokud je forma
B
{\displaystyle B}
U
{\displaystyle U}
V
{\displaystyle V}
dim
U
+
dim
U
⊥
=
dim
V
{\displaystyle \dim U+\dim U^{\perp }=\dim V}
Pro ortogonální doplněk na unitárním prostoru
V
{\displaystyle V}
M
⊥
=
{
v
∈
V
:
∀
u
∈
M
:
⟨
v
,
u
⟩
=
0
}
=
{
v
∈
V
:
∀
u
∈
M
:
⟨
u
,
v
⟩
=
0
}
{\displaystyle M^{\perp }=\{{\boldsymbol {v}}\in V:\forall {\boldsymbol {u}}\in M:\langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}}\rangle =0\}=\{{\boldsymbol {v}}\in V:\forall {\boldsymbol {u}}\in M:\langle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\rangle =0\}}
M
⊥
∩
(
span
M
)
=
{
0
}
{\displaystyle M^{\bot }\cap \left(\operatorname {span} M\right)=\{{\boldsymbol {0}}\}}
Kolmost dvou vektorů
u
{\displaystyle {\boldsymbol {u}}}
v
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}}
⟨
u
,
v
⟩
=
0
⟺
∀
c
∈
C
:
‖
u
‖
≤
‖
u
+
c
v
‖
{\displaystyle \langle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\rangle =0\Longleftrightarrow \forall c\in \mathbb {C} :\|{\boldsymbol {u}}\|\leq \|{\boldsymbol {u}}+c{\boldsymbol {v}}\|}
podprostoru
U
{\displaystyle U}
V
{\displaystyle V}
U
⊥
=
{
v
∈
V
:
∀
u
∈
U
:
‖
v
‖
≤
‖
v
+
u
‖
}
{\displaystyle U^{\bot }=\left\{{\boldsymbol {v}}\in V:\forall \ {\boldsymbol {u}}\in U:\|{\boldsymbol {v}}\|\leq \|{\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {u}}\|\right\}}
Každý uzavřený podprostor
U
{\displaystyle U}
Hilbertova prostoru
V
{\displaystyle V}
(
U
⊥
)
⊥
=
U
{\displaystyle \left(U^{\bot }\right)^{\bot }=U}
Prostor
V
{\displaystyle V}
ortogonální rozklad
V
=
U
⊕
U
⊥
{\displaystyle V=U\oplus U^{\bot }}
⊕
{\displaystyle \oplus }
přímý součet dvou podprostorů. Speciálními případy Hilbertových prostorů jsou unitární prostory konečné dimenze. V nich je vždy zaručeno, že
dim
U
+
dim
U
⊥
=
dim
V
{\displaystyle \dim U+\dim U^{\perp }=\dim V}
Je-li
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
R
A
{\displaystyle R_{\boldsymbol {A}}}
S
A
{\displaystyle S_{\boldsymbol {A}}}
ker
A
{\displaystyle \ker {\boldsymbol {A}}}
jádro matice
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
(
R
A
)
⊥
=
ker
A
{\displaystyle (R_{\boldsymbol {A}})^{\bot }=\ker {\boldsymbol {A}}}
(
S
A
)
⊥
=
ker
(
A
T
)
{\displaystyle (S_{\boldsymbol {A}})^{\bot }=\ker({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} })}
Ve speciální teorii relativity se ortogonální doplněk používá k určení současné nadroviny v bodě světočáry . Bilineární forma
η
{\displaystyle \eta }
Minkowského prostoru určuje pseudoeuklidovský prostor událostí. Počátek a všechny události na světelném kuželu jsou samy k sobě ortogonální. Když bilineární forma zobrazí časovou a prostorovou událost na nulu, pak jsou tyto události hyperbolicky ortogonální. Uvedená terminologie vychází z použití dvou sdružených hyperbol v pseudoeuklidovské rovině: sdružené průměry těchto hyperbol jsou hyperbolicky ortogonální.
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Orthogonal complement
BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra . 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1 HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky . 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5 OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online . 
