Projekce (lineární algebra)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

V lineární algebře a funkcionální analýze je projekce lineární transformace nějakého vektorového prostoru na sebe taková, že . To znamená, že pokud aplikujeme na jakoukoli hodnotu opakovaně, výsledek je stejný, jako kdybychom ji použili jen jednou (je to idempotentní zobrazení, které nemění prostor svých obrazů).[1] Tato definice formalizuje a zobecňuje myšlenku geometrické projekce.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Projekce na vektorovém prostoru je lineární operátor takový, že .

Pokud skalární součin a je úplný (tj. když je Hilbertův prostor), lze použít pojem ortogonality. Projekce na Hilbertově prostoru se nazývá ortogonální projekce, pokud platí pro všechny . Projekce na Hilbertově prostoru, která není ortogonální, se nazývá šikmá projekce.

Projekční matice[editovat | editovat zdroj]

  • V konečnědimenzionálním případě se čtvercová matice nazývá projekční matice, pokud se rovná svému čtverci, tzn . [2]: s. p. 38
  • Čtvercová matice se nazývá ortogonální projekční matice, pokud pro reálnou matici, resp pro komplexní matici, kde označuje transponování a označuje hermitovsky sdruženou matici k .[3] : s. p. 223
  • Projekční matice, která není ortogonální, se nazývá šikmá projekční matice .

Vlastní hodnoty projekční matice musí být 0 nebo 1.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Ortogonální projekce[editovat | editovat zdroj]

Například funkce, která mapuje bod v trojrozměrném prostoru do bodu , je ortogonální projekce na rovinu určenou souřadnými osami x a y . Tato funkce je reprezentována maticí

Akce této matice na obecný vektor je

Že je skutečně projekce, tj. , dokážeme takto:

.

Jelikož , tak tato projekce je ortogonální.

Šikmá projekce[editovat | editovat zdroj]

Jednoduchý příklad neortogonální (šikmé) projekce je

Prostřednictvím násobení matic vidíme

To dokazuje, že je opravdu projekce.

Projekce je ortogonální tehdy a jen tehdy, jestliže , protože teprve potom .

Vlastnosti a klasifikace[editovat | editovat zdroj]

Transformace T je projekce podél k na m. Oborem hodnot T je m a nulový prostor je k..

Idempotence[editovat | editovat zdroj]

Podle definice je každá projekce idempotent (tj ).

Komplementarita oboru hodnot a jádra[editovat | editovat zdroj]

Nechť je konečnorozměrný vektorový prostor a projekce na . Předpokládejme, že podprostory a jsou obraz a jádro . Pak má následující vlastnosti:

  1. je operátor identity na
    .
  2. Lze psát , tj. každý vektor může být jedinečně rozložen jako , přičemž a , a .

Obraz a jádro projekce jsou komplementární stejně jako jsou komplementární operátory a . Operátor je také projekce, jejíž obraz je jádro , a jeho jádro naopak obrazem .

Spektrum[editovat | editovat zdroj]

I ve vektorových prostorech nekonečné dimenzí (stejně jako u konečné dimenze) je spektrum projekce obsaženo v množině , jelikož

Pouze 0 nebo 1 může být vlastním číslem projekce, což značí, že je vždy pozitivně semi-definitivní operátor/matice. Odpovídající vlastní prostory jsou jádrem a obrazem projekce. Rozklad vektorového prostoru na přímé součty není obecně jedinečný. Proto k podprostoru může existovat mnoho různých projekcí, jejichž obraz (nebo jádro) je .

Pokud je projekce netriviální, má minimální polynom , který má různé kořeny, a tedy je diagonalizovatelná.

Součin projekcí[editovat | editovat zdroj]

Součin projekcí není sám obecně projekcí, i když jde o součin ortogonálních projekcí. Pokud projekce komutují, je jejich součin projekcí.

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Projection (linear algebra) na anglické Wikipedii.

  1. Meyer, pp 386+387
  2. [s.l.]: [s.n.] ISBN 9780521839402. 
  3. [s.l.]: [s.n.] ISBN 9780521839402.