Stopa matice

Stopa matice je v oboru lineární algebry označení pro součet prvků na hlavní diagonále čtvercové matice. Značí se $\operatorname {tr} {\boldsymbol {A}}$ . ^[1] Pro matici

{\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}

má stopa hodnotu

\operatorname {tr} {\boldsymbol {A}}=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}

.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Stopa je lineární zobrazení, neboli pro libovolné matice ${\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {B}}$ nad tělesem $T$ a libovolné $r,s\in T$ platí:
$\operatorname {tr} (r{\boldsymbol {A}}+s{\boldsymbol {B}})=r\cdot \operatorname {tr} {\boldsymbol {A}}+s\cdot \operatorname {tr} {\boldsymbol {B}}$
Stopa se nemění transpozicí:
$\operatorname {tr} {\boldsymbol {A}}=\operatorname {tr} {\bigl (}{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}{\bigr )}$
Stopa reálné nebo komplexní matice je rovna součtu jejích vlastních čísel (včetně násobnosti).
Pro čtvercové matice ${\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {B}}$ stejného řádu platí:
$\operatorname {tr} ({\boldsymbol {AB}})=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {BA}})$
Podobné matice mají stejnou stopu, neboli pro čtvercovou matici ${\boldsymbol {A}}$ a regulární matici ${\boldsymbol {B}}$ stejného řádu platí:
$\operatorname {tr} ({\boldsymbol {B^{-1}AB}})=\operatorname {tr} {\boldsymbol {A}}$

Jinými slovy, stopa je invariantní vůči změně báze.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Spur (Mathematik) na německé Wikipedii.

↑ ČSN EN ISO 80000-2 (011300). Veličiny a jednotky - Část 2: Matematika. Česká agentura pro standardizaci, 2020-11-01. detail.

BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198.

BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1.
HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39.
OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.
MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.